复习参考题教学设计思路

排

列

【学习目标】

1．理解排列的概念. 2．能利用计数原理推导排列数公式．

3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、排列的概念

1. 排列的定义：

一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

要点诠释:

（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．

（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．

（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．

要点二：排列数

1.排列数的定义

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m表示. m元素的排列数，用符号An要点诠释:

（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；

（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．

比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，2符号Amn表示排列数，在此题中A36．

2．排列数公式

Amn，m∈N+，且m≤n．

(2)n(m，其中1nn(n1)n要点诠释:

(1)公式特征：

第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有

m个因数。

(2)公式含义：

2①An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。

第一步：在第一个空位填一个元素，有n种方法；

第二步：在第二个空位填一个元素，有n1种方法；

由分步计数原理完成上述填空共有n(n1)种填法，

2∴An=n(n1). 第1位第2位nan中任取m个不同的元素去填空（不能重n1m②求An可以理解为：从n个元素a1,a2,复），

第1位第2位第3位第m位......nn1n2

nm1

第一步：在第一个空位填一个元素，有n种方法；

第二步：在第二个空位填一个元素，有n1种方法；

第三步：在第三个空位填一个元素，有n2种方法；

…

第m步：在第m个空位填一个元素，有nm1种方法；

m依据分步记数原理，共有Ann(n1)(n2)(nm1)种方法。

要点三：阶乘表示式

1．全排列：

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。

n全排列Ann(n1)(n2)321. 2．阶乘的概念：

n把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘.表示：n!，即Ann!. 规定：0!1．

3. 排列数公式的阶乘式：

Amnn(n1)(n2)(nm1)n(n1)(n2)(nm1)(nm)(nm)2121n!(nm)!

所以Anmn!．

(nm)!要点四：排列的常见类型与处理方法

1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．

2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．

3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。

4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。

要点诠释：

当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。

即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。

【典型例题】

类型一、与排列数有关的运算

244例1．计算：（1）A9；（2）A4；（3）A11

【解析】

2（1）A9＝9872

4（2）A4＝4!＝432124

4（3）A11＝1110987920

m【总结升华】利用排列数公式要准确把握公式的结构特征——An就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。

举一反三：

【变式1】若n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．

15【答案】A69n

先确定最大数，即69－n，再确定因式的个数为(69－n)－(55－n)+1=15．

15

则由排列数公式得A69n．

322【变式2】解方程：3Ax2Ax16Ax．

【答案】由排列数公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，

∵x3，∴

3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，

解得

x5或x2，∵x3，且xN，∴原方程的解为x5．

3类型二、排列的定义及其理解

例2．

判断下列问题是否是排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？

（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？

（3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？

（4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？

（5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？

【思路点拨】

判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．

【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题．

【总结升华】

判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．

举一反三：

【变式1】从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

【答案】

这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙，其中被取的对象叫做元素。

【变式2】判断下列问题是否是排列问题：

（1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？

（2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？

【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．

（2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．

综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题．

例3．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分

别比赛一次，共进行多少场比赛？

【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。

【解析】

任意两队间进行1次主场比赛与

1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个2元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A14=14×13=182.

【总结升华】

当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。

举一反三：

【变式1】从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

【答案】20；

2问题可以看作5个元素中任取2个元素的一个排列A55420；

【变式2】

某小组6个人排队照相留念，若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

【答案】分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．

6∴A6720(种) 【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，

①能够组成多少个没有重复数字的三位数？

②能够组成多少个三位数？

【答案】

①

从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：3A554360（个）

∴能组成60个无重复数字的三位数。

1②

可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有A5种不1同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有A5种不同的排法；第三步排个位1111也有A5种不同的排法，由分步计数原理有：NA5A5A5555125（个）

∴能够组成125个三位数。

类型三、简单排列应用题的解法

例4. （1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

【思路点拨】

本题主要考查有限制条件的排列问题．注意对特殊元素的处理．

6【解析】(1)问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720．

2(2)根据分步计数原理：第一步

甲、乙站在两端有A2种；

255第二步

余下的5名同学进行全排列有A5种，所以，共有A2=240种排列方法

A5(3) 解法1（直接法）第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和25排尾有A5种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A5种方法，所25以一共有A5＝2400种排列方法

A566解法2（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站在排57头且乙站在排尾则有A5种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A7－65＋A5=2400种．

2A6

【总结升华】

本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．

举一反三：

【变式1】7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

【答案】

方法一：直接法

2第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种；

5第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A5种，

25所以共有A5＝2400种方法。

A5方法二：排除法

6若甲站在排头有A6种方法；

6若乙站在排尾有A6种方法；

5若甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方法，

765所以，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有A7－4A6＋2A5=2400种。

【变式2】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？

【答案】

6解法一：6门课总的排法是A6，其中不符合要求的排法为：体育排55在第一节，有A5种排法，如图1-2-1中Ⅰ；数学排在最后一节，有A5种排法，如图中Ⅱ．但这两种方法，都包括体育排在第一节且数学排在最后4654一节这种情况，如图中Ⅲ，有A4种排法因此符合条件的排法应是：A6

2A5A4504．

解法二：根据要求，课表安排可分为4种情况：

24

①体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有A4种；

A414

②数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有排法A4种；

A414

③体育排在最后一节，但数学不排在第一节，有排法A4种；

A44

④数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法A4种．

24144

这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：A4（种）．

A42A4A4A4504例5.七位同学站成一排，下列情况有多少种不同的排法？

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

（3）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

（4）甲、乙同学之间隔一人的排法共有多少种？

（5）

甲、乙两同学必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

【思路点拨】本题显然为相邻和不相邻问题。

【解析】

（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行6全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法．所以这样的62排法一共有A6A21440种

253（2）方法同上，一共有A5＝720种

A3（3）先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同33学分别插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A4A5＝1440种．

44

5（4）先从其余5人中选1人有5中选法，放在甲、乙之间，将三人看成一个人有A5种，然252后甲乙互换位置以A2种，共有5A5＝1200种

A2（5）解法一：

将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在2排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A5种方4法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排2422列有A2种方法．所以这样的排法一共有A5＝960种方法

A4A2解法二：

将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或5排尾有2A5种方法，

652所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A62A5)A2960种方法

解法三：

将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在1排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，再将其余的5个元素进行全55排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有A4A5A2＝96012种方法．

【总结升华】

（1）某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”．

（2）某些元素顺序一定，可先求总的排列数，再求这些特殊元素的排列数，则符合条件的排列数为前者的排列数除以后者的排列数．

举一反三：

【变式1】把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有

种．

【答案】

根据题意，分3步进行分析：

①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有A22＝2种情况，

②、将AB与剩余的2件产品全排列，有A33＝6种情况，

③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，

故不同的摆法有12×3＝36种，

故答案为：36．

【变式2】三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有多少种？

【答案】由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一2起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有A2种不同的排法，再把三本不同的化学书4在它们相邻的位置全排列有A4种不同的排法，由乘法原理得：总数234。

NA2A3A4213214321288（种）【变式3】用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数．字作答）

32348种，再将７、８插【答案】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有A3212种，故有4812576种．

入4个空位中的两个有A4【变式4】为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上。山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号1，3，5的三个品种有且只有两个邻邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种方法的种数为（

）

A．432

B．456

C．534

D．720 【答案】

第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入在中间空中，再把4号插入到1，2，3，5所形成的4个空的中的一个，然2211后把6号再插入到其中，故有A3A2A4A5240种，

第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把221112号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有A3A2A2A4A3288种，

从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并223插入到其中，有A3A2A372种，

故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240+288－72=456种，

故选B。

例6．

用0，1，2，3，4，5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？

【思路点拨】

该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．

【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：

3

第一类：0在个位时有A5个；

1

第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A4种），十位和百位从余下212的数字中选（有A4种），于是有A4个；

A412

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A4个．

A431212

由分类计数原理知，共有四位偶数：A5．

A4A4A4A4156（个）4

（2）五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A5个；个位上13的数字是5的五位数有A4个．

A4413

故满足条件的五位数共有A5A4A4216．

（3）比1325大的四位数可分为三类：

13

第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A4个；

A511

第二类：形如14□□，15□□，共有A2个；

A311

第三类：形如134□，135□，共有A2个；

A3131211

由分类计数原理知，比1325大的四位数共有：A4．

A5A2A4A2A3270（个）【总结升华】

不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．

举一反三：

【变式1】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（

）

（A）288个

（B）240个

（C）144个

（D）126个

【答案】选B．

对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”3分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有14A496个；②个位不是0并且3比20000大的五位偶数有23A4144个；故共有96144240个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．

【变式2】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．

⑴

第114个数是多少？

⑵ 3796是第几个数？

【答案】3968，95 3⑴

因为千位数是1的四位数一共有A560个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十2位数字是“1”即“31”开头的四位数有A412个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968” 是第114个数．

⑵

由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．

【变式3】由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，从小到大排列，42031是第几个数？（

A、11

）

B、85

C、86

D、96 【答案】此题可分三类完成：第一类从1，2，3这三个数字中任选一个排在首位这样的数一1定比42031小，其首位有A3种不同的排法，再由余下的四个数在剩余的四个位置全排列有441种不同的排法，则第一类有A3·A4=72个，第二类是首位排4，千位排0或1的数一定A413比42031小，这样的数有A2A32612，第三类只有一个数42013，由加法原理得：1413NA3A4A2A317212185，所以42031是第86个数，故选C。

（注：比42031小的数有85个，但从小到大的顺序排列42031应是第86个数。）