信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响ppt课件教学实录

正态分布

教学目标

1．知识与技能

①

通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源

②理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

2．过程与方法

①

通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法

②

通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力

3、情感态度与价值观

①

通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣

②

通过3原则的学习，充分感受数学的对称美

教学重点、难点

重点：正态分布密度曲线的特点，利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题

难点：正态分布密度曲线的特点

教法与学法

1、教法

本节课是概念课教学，我采取直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程。而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。

2、学法

纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：

⑴

观察探究：

观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）

⑵

归纳分析：

引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。（如通过几何画板的观察，归纳分析参数、对图像的影响）

⑶

理解应用

在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣。

教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

以境激情

通过对高尔顿板试验进行演示。

教师创设情境，为导入新知做准备。

学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。

学生经过观察发现：

教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣。

研

探

论

证

⑶

将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律

⑴

将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表。

⑵

以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。

下落的小球在槽中的分布是有规律的。

引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程。

在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距。

教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？

学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率

教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量。

这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡。

通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移。

通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解。

教学环节

fx2．正态曲线：

曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线

教师提出课题并板书：正态分布

与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲教师分析正态分布密线之后才给出曲线对教学内容

师生互动

设计意图

是（或近似地是）下列函数的图像：

12ex222,x,, 度曲线表达式的特点，应的表达式，这样处并指出两个参数的实际意义。

理能更直观演示正态曲线来源。

其中是圆周率，e是自然对数的底，实数和（＞0）为参数。我们称fx的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

与分别反映的是均值与标准差。

3．正态曲线对应的解析式中含有两学生研探新知，并进行推理论证。

其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维。

教师利用几何画板，先后固定参数和

针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度。

该环节教师利用多媒研

个参数和。下面结合函数解析

探

式研究曲线特点，并分析参数和对曲线的影响：

论

证

⑴

固定的值，观察对图像的影响

，通过变化参数和的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言。

学生通过观察得到：当一定时，曲线随着

的变化而沿x轴平

移；结合解析式分析知体引导学生归纳正态0时它是个偶函曲线的特点，既加强数，于是参数决定了正态曲线的对称轴，了学生的直观理解，也增强了学生观察归0时的图像可由纳的能力。

0时的图像平移得到。（教师板书：曲线是单峰的，它关于直线

x对称）

同时得到：曲线在x时达到峰值1（教师板书）。

2教学环节

研

探

⑵

固定的值，观察对图像的影响

学生通过观察并结合参数与的意义可以分析得到：当一定时，影响了曲线的形状。即：越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）。

这样的处理很好地突出了重点，突破了难点。

该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。

教学内容

师生互动

设计意图

论

⑶

综合以上图像，你还能得到正态

证

曲线的哪些特点？

综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于x轴上方，与x轴不相交。（教师板书）。

最后引导学生由概率知识知：曲线与x轴之间的面积为1（教师板书）。

这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫。

4．曲线与x轴之间的面积为1。根据对称性知，随机变量X落在对称轴x两侧的概率都是1。请思2考：对于任意一个随机变量X，如何求出落在给定区间a,b内的概率？

引导学生回忆得到：X落在区间a,b的概率的近似值其实就是在a,b上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意y x在区间a,b上的义的理解。

定积分。即：

Pa＜Xbba,xdx

O 教abx

师生互动

教学内容

设计意图

学环节

研

探

论

证

6．3原则

几何画板演示3原则：

5．

正态分布概念：

一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足

教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。

引导学生分析得到，以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新PaXbbafxdx，则称X的分布为正态分布，常记作X所落区间的端点是知识。同时培养了学否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率。

引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数。

在3,3区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取

学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”。

新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难。教师利用之间几何画板，从数与形上体现了3原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解。

生把前后知识联系起来进行思维的习惯。

N,2。如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N,2。

P＜X0.6826

P2＜X20.9544

3,3的值，简称3原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态

P3＜X30.9974

分布有关的概率计算问题。

师生互动

教学教学内容

设计意图

环节

典

例

剖

析

例1 设三个正态分布N(μ1，

)(

1>0)、N(μ2，

)( 2>0)、

学生分组：华罗庚队，陈省身队，苏步青队，分别派代表上讲台解决每位数学家照片对应的题目

学生相互讨论，根据

对称轴可解

通过该例的设置，既能活跃课堂气氛，调动学生积极参与的积极性，又能激励学生，让他们树立努力学习的坚定信念。

要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果。再一次强化了数形结合的解题思想。

N(μ3，

)(

3>0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是__________；

1、

2、

3按从小到大的顺序排列是__________．

【答案】μ2<μ1<μ3

1<

3<

2

例2 已知随机变量X～N(2，

2)，

若P(X<1)＝0.32，则P(1≤X<3)＝__________.

【答案】：0.36

例3 若X～N(0，)，则X落在(－

∞，－1]∪[1，＋∞)内的概率为________．

【答案】：0.003

例4 在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?

【答案】：0.9544；1365

教学环节

应用评1．

正态曲线有哪些具体的特点？

2．3原则是什么？它对、取教师引导学生进行课堂小结，自我评价。

学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与教学内容

师生互动

设计意图

价

任何数，数据落到相对区间内的概率

是不变的吗？

3．思想方法：数形结合等。

4．生活中的正态分布

成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨。将课堂小结作自我评价。教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方为自我评价的主阵地。

法。

教师结合例子对正态分布进行介绍。

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用。

A组

课本75页 A组

第1题

思维创新

B组

第2题

课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值。

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新。

教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法。

学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率。

板书设计

正态分布

1．

2．

质

⑴

⑵

3．3原则

解析式

曲线性例1．

例2

例3 例4