2.2.2 直线方程的几种形式ppt配套的教案及板书设计

2.2.2

直线方程的几种形式

第1课时

直线的点斜式方程

学习目标

1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．

知识点一

直线的点斜式方程

思考1

如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？

y－y0答案

由斜率公式得k＝，

x－x0则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．

思考2

经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？

答案

斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0. 梳理

已知条件

点斜式

点P(x0，y0)和斜率k

图示

方程形式

适用条件

知识点二

直线的斜截式方程

思考1

已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，直线l的方程是什么？

答案

将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式，得y＝kx＋b.

y－y0＝k(x－x0) 斜率存在

思考2

方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数或零？

答案

y轴上的截距b不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标，可以是负数或零．

梳理

(1)直线的斜截式方程

已知条件

斜截式

斜率k和直线在y轴上的截距b

图示

方程式

适用条件

(2)直线的截距

如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k，则直线的点斜式方程为y－b＝k(x－0)．整理，得y＝kx＋b，则b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称为直线的截距．

y－y01．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(

×

) x－x02．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(

√

) 3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(

×

) y＝kx＋b

斜率存在

类型一

直线的点斜式方程

例1

若直线l满足下列条件，求其直线方程．

(1)过点(－1,2)且斜率为3；

(2)过点(－1,2)且与x轴平行；

(3)过点(－1,2)且与x轴垂直；

(4)已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°. 解

(1)y－2＝3(x＋1)即3x－y＋5＝0. (2)y＝2. (3)x＝－1. (4)斜率k＝tan 60°＝3，AB的中点为(1,4)，

则该直线的点斜式方程为y－4＝3(x－1)，

即3x－y－3＋4＝0. 反思与感悟

(1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．

(2)当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0. (3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x－x0＝0. 跟踪训练1

直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝l1的点斜式方程为________．

答案

y＋2＝3(x＋1) 解析

∵直线l2的方程为y＝设其倾斜角为α，

∴tan α＝3，解得α＝30°，

33x，

33x的倾斜角的2倍，则3那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，

∴l1的点斜式方程为

y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝3(x＋1)．

类型二

直线的斜截式方程

例2

根据条件写出下列直线的斜截式方程．

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解

(1)由直线方程的斜截式可知，

所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－由斜截式可得直线方程为y＝－3x－2. 33. 3(3)∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝3. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，

∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3. 反思与感悟

(1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．

(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．

跟踪训练2

写出下列直线的斜截式方程．

(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；

(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；

(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0. 解

(1)由直线方程的斜截式，可得直线方程为y＝3x－3. (2)由题意可知，所求直线的斜率k＝tan 60°＝3，

直线方程为y＝3x＋5. (3)由题意可知，所求直线的斜率k＝tan 30°＝由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝3，

33x. 3

1．方程y＝k(x－2)表示(

) A．通过点(－2,0)的所有直线

B．通过点(2,0)的所有直线

C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线

D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线

答案

C 解析

易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．

2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为(

) A．y＝3x＋2

C．y＝－3x－2

答案

D 解析

直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．

3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(

) A．k>0，b>0

C．k<0，b>0

答案

B 解析

∵直线经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0. B．k>0，b<0 D．k<0，b<0 B．y＝－3x＋2 D．y＝3x－2

4．直线y＝－2x－7在y轴上的截距为b，则b＝________. 答案

－7 5．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________. 答案

4 解析

直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，

∴2m－1＝7，解得m＝4.

1．求直线的点斜式方程的方法步骤

2．直线的斜截式方程的求解策略

(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.

一、选择题

1．若过原点的直线l的斜率为－3，则直线l的方程是(

) A．x－3y＝0

C.3x＋y＝0

答案

C 2．如果直线3x＋2y＝6的斜率为k，在y轴上的截距为b，那么有(

) 3A．k＝－，b＝3

23C．k＝－，b＝－3

2答案

A 2B．k＝－，b＝3 32D．k＝－，b＝－3 3B．x＋3y＝0 D.3x－y＝0

解析

直线方程为3x＋2y＝6，可化为y＝－32x＋3. 故k＝－32，b＝3. 3．与直线3x－2y＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为(

) A．y－3＝32(x＋4) B．y＋3＝32(x－4) C．y－3＝－32(x＋4) D．y＋3＝－32(x－4) 答案

A 4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为(

) A．(3,1)

B．(2,3) C．(2，－3)

D．(－2,3) 答案

B 解析

直线方程为y＝k(x－2)＋3，

可化为y－3＝k(x－2)，

所以过定点(2,3)．

5．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2斜率的2倍的直线方程是(

A．y＝－1

B．y＝1 C．y－1＝2(x＋1)

D．y－1＝22(x＋1) 答案

C 解析

由方程知已知直线的斜率为22，

∴所求直线的斜率是2，

由直线方程的点斜式，可得直线方程为y－1＝2(x＋1)．

6．直线y＝ax－1a的图象可能是(

) 答案

B 解析

根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的截距正负相反．

)

7．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(

)

A．k1＜k2且b1＜b2

C．k1＞k2且b1＞b2

答案

A 解析

设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题图可知，90°＜α1＜α2＜180°，所以k1＜k2.又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2，故选A. 二、填空题

8．已知过点A(－2，m＋1)和点B(m,3)的直线与直线y＝－2x＋1的斜率相等，则m的值为________．

答案

－6 m＋1－3解析

由－2＝，得m＝－6. －2－m19．设直线l的倾斜角是直线y＝3x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，2则直线l的方程是____________________．

答案

y＝3x±3 33. 3B．k1＜k2且b1＞b2

D．k1＞k2且b1＜b2

解析

y＝3x＋1的倾斜角为60°，则l的倾斜角为30°，故斜率为tan 30°＝由题意知，l在y轴上的截距为±3，

∴直线l的方程为y＝3x±3. 310．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若此直线在y轴上的截距为10，则a＝________. 答案

4 解析

当x＝0时，y＝3a－2.令3a－2＝10，解得a＝4. 111．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是2________．

答案

(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析

令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝1|k|·|－2k|＝k2. 2由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

三、解答题

12．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

解

由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，

∴l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2，

∴l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 13．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)的关系用直线AB的方程表示(如图所示)．试求：

(1)直线AB的方程；

(2)旅客最多可免费携带多少行李？

解

(1)由题图知，A(60,6)，B(80,10)，

设直线AB的方程为y＝kx＋b，

60k＋b＝6，将A，B两点代入，得

80k＋b＝10，

1k＝5，1解得所以y＝x－6. 5b＝－6.(2)依题意，令y＝0，得x＝30. 即旅客最多可免费带30千克的行李．

四、探究与拓展

14．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(

)

答案

C 解析

①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；

③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．

15．已知等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为3，点B(－3,2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在的直线方程．

解

直线AC的方程为y＝3x＋2＋3. ∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，

∴BC的倾斜角α为30°或120°. 当α＝30°时，直线BC方程为y＝3x＋2＋3，

3∠A的平分线所在直线的倾斜角为120°，

∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3. 当α＝120°时，直线BC的方程为y＝－3x＋2－33. ∠A的平分线所在直线的倾斜角为30°，

∴所在直线方程为y＝33x＋2＋. 33