小结教学设计和教学实录

第三章

统计案例-------小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

过程与方法：

通过典型问题的分析与解决，让学生体会分析、总结的方法，形成模式辨别能力，提升解题水平；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：进一步提高对基本概念和基本方法的理解与掌握

难点：1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

(一)知识梳理

1．最小二乘法

^^^对于一组数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它们线性相关，则线性回归方程为y＝bx＋a，

^其中b＝_________________________________ i＝1xiyi－nx

y^n＝i＝1，a＝____________. x2i－nxn22．2×2列联表

2×2列联表如表所示

1

A A

总计

其中n＝________________为样本容量．

3．独立性检验

常用统计量χ2＝________________________ 检验两个变量是否有关系．

（二）典例解析，总结提升

类型一

线性回归分析

【典例1】一个车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据

如下表: 零件数x(个) 加工时间

62 y(min) (1)画出散点图,并初步判断是否线性相关. (2)若线性相关,求回归直线方程. (3)求出相关指数. (4)作出残差图. (5)进行残差分析. 【解析】(1)画散点图如图所示, 72 75 81 85 95 103 108 112 127 10 20

30 40 50 60 70 80 90 100 B a c

B

b d

总计

n

由图可知,x,y线性相关. (2)x与y的关系可以用线性回归模型

拟合,不妨设回归模型为=x+. 将数据代入相应公式可得数据表:

2

零件个

序号

数xi(个) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

所以=55,=92, 所以10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550 yi(min) 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 920 加工时间

xiyi

620 1 440 2 250 3 240 4 250 5 700 7 210 8 640 10 080 12 700 56 130

100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000 38 500 ===≈0.670,=-=92-×55=≈55.133,

所以回归直线方程为=0.670x+55.133. (3)利用所求回归方程求出下列数据. yi

yi-yi

yi-

61.833 0.167 -30 95.333 -0.333 68.533 3.467 -20 102.033 0.967 75.233 -0.233 -17 108.733 -0.733 81.933 -0.933 -11 115.433 -3.433 88.633 -3.633 -7 122.133 4.867 yi

yi-yi

3

yi-

3 11 16 20 35 所以R2=1-≈0.983.

(4)因为yi=yi-yi,利用上表中数据作出残差图,如图所示.

(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性,由R2的值可以看出回归效果很好. 由残差图也可观察到,第2、5、9、10个样本点的残差比较大,需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误. 【方法总结】解决回归分析问题的一般步骤

(1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图,直观感知两个变量是否具有相关关系;在此基础上,利用最小二乘法求回归系数,然后写出回归方程. (3)回归分析.画残差图或计算R2,进行残差分析. (4)实际应用.依据求得的回归方程解决问题. 【巩固训练】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720.

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+. (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关. (3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.

4

附:线性回归方程=x+中,=,=-,其中,为样本平均值. 【解析】(1)由题意知n=10,=xi==8, =yi==2,又-n=720-10×82=80, xiyi-n=-=184-10×8×2=24,

由此得===0.3, =2-0.3×8=-0.4,

故所求回归方程为=0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(=0.3>0),故x与y之间是正相关. (3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0.3×7-0.4=1. 7(千元). 类型二

独立性检验

【典例2】(1)某保键药品推销商为推销其药品,在广告中宣传:“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”.经调查发现,在不使用该药品的418人中仅有18人患A疾病.请用所学知识分析该药品对防治A疾病是否有效? (2)在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁以上的70人,六十岁以下的54人,六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主,另外27人则以肉类为主,六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为主. ①根据以上数据建立一个2×2列联表; ②判断人的饮食习惯是否与年龄有关. 【解析】(1)将问题中的数据写成2×2列联表如下表:

使用

不使用

总计

患病

5 18

23 不患病

100 400 500 总计

105 418 523

5

将上述数据代入公式K2=所以没有充分的证据表明该药品对防治A疾病有效. (2)①2×2列联表如下:

六十岁以下

六十岁以上

总计

②根据列联表,可得K2的观测值

主食蔬菜

21 43 64 中,计算可得k≈0.04145,而0.04145<2.706,主食肉类

33 27 60 总计

54 70 124 k=≈6.201>5.024.

故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“人的饮食习惯与年龄有关”.

【方法总结】独立性检验问题的基本步骤

(1)找相关数据,作列联表. (2)求统计量K2. (3)判断可能性,注意与临界值作比较,得出与事件有关的确信度. 【巩固训练】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下: 性别

男

是否需要志愿者

需要

不需要

(1)估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? 【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要志愿者提供帮助40 160 30 270 女

的老年人的比例的估计值为(2)由表中数据,得K2的观测值为

=14 .

6

k=≈9.967.

因为9.967>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 五、小结

1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

六、作业

1.课时检测

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