1.1 回归分析的基本思想及其初步应用ppt课件教学实录

350

300

250

200

150

100

5

0

0

3

6

9

1

1

18

2

2230

3

3

3

1

一、教材分析

1．

内容的前后联系、地位和作用

本节内容是人教版A版《数学选修1-2》统计案例一章中的一部分。

20世纪下半叶以来，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，统计方法与技术的应用越来越重要，统计技术就为基因学说奠定了理论基础，电子商务、保险精算、金融风险管理、质量保证等也应用到统计方法。为了后续学习的准备和社会应用的需要，高中新课程增加了有关统计学初步的内容，前后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。

《数学3》中的“统计”一章，给出了用统计的方法解决问题的思路，而“线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想用计算器求回归直线方程、用回归直线方程进行预报等内容。

但是，大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能是指数或对数等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型，是线性回归模型的引申。

2. 教学目标

根据课程标准和教材内容，拟定如下目标：

(a) 知识与技能

＊能根据散点分布特点，建立不同的回归模型，知道有些非线性模型可以转化为线性回归模型。

＊通过散点图及相关指数比较判断不同模型的拟合效果。

(b) 过程与方法

＊让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。

＊通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。

＊通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法。

(c) 情感、态度与价值观

＊从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。

＊通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和创新精神，以及转化能力。

＊通过案例的分析，了解回归分析的实际应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。

3．教学重点、难点

在实际问题中，当用线性回归方程不能很好地描述变量之间的相关关系时，需要引入非线性回归分析。然而，直接求非线性回归方程中的参数没有统一公式，因此，把非线性模型化为线性模型应该说是解决问题的好方法，而且也符合人“化未知为已知、用已知探索未知”的认知规律。

＊重点：根据散点分布特点，建立不同的回归模型，知道有些非线性模型可以运用等量变换、对数变换转化为线性回归模型。

＊难点：如何运用“等量变换、对数变换”，转化非线性模型为线性回归模型。

二、教学设计分析

(一) 情境创设

1、问题1：你能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗？

2

提出问题，引导学生回忆建立线性回归模型的基本步骤：选变量、画散点图、选模型、估参数、分析预测，为建立非线性模型做准备。

2、背景介绍：

阅读背景材料，让学生对新问题有初步的认识，体会数学问题源于生活，激发学习兴趣，提高学习的积极性。

红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为

25——32C，相对湿度为80％一100％，低于

20C和高于35C卵不能孵化，相对湿度60％

以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一4．8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。

通过“红铃虫”的背景介绍，指出其发生受温度的影响，为采取有效防治方法，有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系，揭示课题。学生通过阅读材料，了解红铃虫的产卵数和温度有关系。

（二）自主探究

例2.现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：

温度xoC

产卵数y/个

21 7 23 11 25 21 27 24 29 32 35 66 115 325 (1)试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。

(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？

方案1（学生运用已学过的建立线性回归模型的方法自主动手实施）：

（1）选择变量，画散点图。

（2）通过计算器求得线性回归方程:y=19.87x-463.73 （3）进行回归分析和预测：R2=r2≈0.8642=0.7464。

预测当气温x=28时，产卵数y=19.8728-463.73≈93。

这个线性回归模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。

教师引导学生分析结果，学生产生困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28oC时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看93个比66个却多了27个，是什么原因造成的呢？

通过检查结果，发现新问题，激发学生好奇心和求知欲，同时培养对问题的洞悉能力、增强对结果的敏感自检和质疑的能力，培养创新精神。

（三）合作探究

1．引导学生将所得散点图和学过的函数图像比较，猜想产卵数y和温度x的可以用什么函数拟合？

经过回忆、联想，从已有知识中寻找解决问题的方法。

2．通过学生联想、比较，发现变量关系接近于指数关系，也像二次函数关系。

提高观察图像，类比联想的能力。

3．学生经过讨论，可建立模型：y=bx2+a，yc1a激发学生进一步探索更好模型的欲望。

5.教师将全班分成两组分别尝试建立二次函数模型和指数函数模型，教师巡视，根据学生所遇到的问题逐一引导学生突破。

3 c2x。

4．教师通过计算机拟合，直观判断所选模型，鼓励学生继续探索。

分组合作。教师组织学生分组合作探究，为学生合作交流提供空间，又节省了教学时间。

预计方案2（二次函数模型）所出现的问题及对策：

（1）问题1：选用y=bx2+a ，还是y=bx2+cx+a ？

对策：①根据拟合图，可以选用对称轴是y轴的二次函数模型；②观察方程y=bx2+a有两个参数，但是另一个有三个，为了计算的方便选择y=bx2+a。

（2）问题2：如何求参数a、b?能否用最小二乘法？

对策：①澄清前面所用的最小二乘法公式是使得样本数据点到回归直线的距离的平方和最小的估计线性回归参数的公式，它不适用于非线性回归。②引导学生发现：如果想用这种方法必须将非线性转化成线性。

（3）问题3：y=bx2+a如何转化成

y=bx+a？

对策：引导学生观察、比较表达式y=bx2+a和y=bx+a，寻找变换方法：x 2= t。

预计方案3（指数函数模型）所出现的问题及对策：

（1）问题1：如何选择指数函数的底数

？

对策：①观察散点图，由图像递增得到底数必须大于1。②引导学生联系运算要用的计算器只能直接计算以10和以e为底的。课本上选择e为底，这里为了让学生体会不同的底的拟合效果，我让学生尝试以10为底。

（2）问题2：如何将yc1102转化成y=bx+a？

对策：启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂？”引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系，从而想到对数变换。

通过以上两个方案的探索，使学生体会利用散点分布选模型和两次转化，知道可以先由散点图发现两个变量的关系、选择模型；知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；从而突破重难点。同时拓宽学生的思路，培养学生的探索精神和创新精神。

6.学生完成解答过程，教师投影规范的解答过程。

方案2：（1）找到变量x 2= t，将y=bx2+a转化成y=bt+a；③

（2）利用计算器计算出y和t的线性回归方程：y=0.367t-202.54；

（3）转换回y和x的模型：y=0.367x2 -202.54；

（4）计算相关指数R2≈0.89572=0.802 预测：当气温x=28 时，产卵数y=0.367282-202.54≈85个。

这个回归模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。

方案3：（1）作变换z=lgy，将yc1102转化成z=c2x+lgc1（线性模型）；

（2）利用计算器计算出z和x的线性回归方程：z=0.118x-1.665；

（3）转换回y和x的模型：y100.118x1.665cxcx；

（4）计算相关指数R2≈0.99252=0.985. 预测：当气温x=28 时，产卵数y100.118281.665≈44个。

这个回归模型中温度解释了98.5%的产卵数变化。

4

让学生经历数据处理的全过程，体会统计方法的应用价值，形成严谨的思维方式，养成规范书写解答过程的好习惯。

7.引导学生从散点图、相关指数两种方法进行比较以上三个模型，哪个能更好的刻画红铃虫的产卵数y 和温度x的关系？学生容易得出指数模型更好。

引导学生进行不同模型的比较,体会任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好，为更好的刻画关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型。

（四）初步应用：

练习：选修1-2：P13-3 （五）归纳提升：

教师提出问题：（1）如何发现两个变量的关系？

（2）如何选用、建立适当的非线性回归模型？

（3）如何比较不同模型的拟合效果？

引导学生回顾①从散点图直观发现关系；②等量变换、对数变换等是非线性模型转化为线性回归模型常用方法；③利用相关指数比较非线性回归模型的拟合效果。帮助学生总结利用观测数据建立非线性回归模型的思路。

（六）作业：

1．某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：

x y 1 10.15 2 5.52 3 4.08 4 2.85 5 2.11 6 1.62 7 1.41 8 1.30 9 1.21 10 1.15 (1)画出散点图；

(2)求成本费y（元）与印刷册数x（千册）的回归方程。

这是一道散点分布在第一象限且递减的题目，可以选择小于1的指数函数、对数函数或反比例函数模型等。让学生体会建立不同的非线性模型，拓宽思路和提高知识迁移能力，培养创新精神。

2．通过互联网收集1993年至2003年每年中国人口总数的数据，建立人口与年份的关系，预测2004和2005年的人口总数，并计算与实际数据的误差。

让学生运用已有知识解决实际问题，提高解决实际问题的能力，增强学习数学的兴趣。

（七）板书设计

回归分析的初步应用

例2

线性回归模型

二次函数模型

指数函数模型

非线性关系

还原

布置作业

变换

线性关系

拟合效果

函数模型

线性回归模型

二次函数模型

指数函数模型

相关指数R0.7464

0.802

0.985 2

三、教法、学法分析

5

根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用了“引导发现、合作探究”的教学方法。在教学中通过展示“红铃虫”的背景资料创设情境，激发学生的学习兴趣。在方案2、3的探索中，我首先引导学生检查结果从而发现新问题；并在学生产生困惑时启发学生将散点分布和已学函数图像进行比较，从而发现二次函数和指数函数模型；在“转化”过程中，启发学生观察所选模型，联系已学知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到“转化”的途径，突破难点;从而体现教师“引导发现”的主导作用。在三个模型的比较中，我发挥多媒体的优越性，演示所选模型的拟合效果，帮助学生直观比较。

学生在教师创设的问题情境中，自主实践尝试运用已有知识解决问题，并通过检查发现新问题，然后进行问题解决方法的探索；通过联想、类比、转化，并进行相关计算完成问题的解答。在整个过程中经历实践探索、合作交流，是一种自主实践、合作探究的学习方法。

四、评价分析

本节课通过展示“红铃虫”的背景资料，能较好地激发学生的学习兴趣。

在“红铃虫”问题的探究过程中，通过三个解决方案的探索，能使学生体会到：虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好，为更好的刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型，并掌握利用散点图选择模型以及将非线性模型转化成线性模型的方法。

在实际教学中，可能有同学已经预习，那么在课堂上会直接根据散点图选择二次或指数模型，此时教师要让他们继续探索方案2、3，最后让学生建立线性模型。通过三个方案，以及对散点图、结果的分析评价，培养学生观察、类比联想、转化，以及分析问题的能力。在整个过程中让学生自主探索、动手实践，有利养成独立思考、积极探索的习惯。

求相关指数可以根据其与残差平方和、总偏差平方和的关系求解，但是涉及的计算较繁琐，此时教师可引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其相关系数即为相关指数。使学生体会使用计算器处理数据的方法和技能。

课后可根据学生的水平，安排探索对称轴不在y轴上的二次函数模型等，使学生进一步体会统计的思想。

按照以上设计，通过师生合作、生生合作，相信一定能取得预期的效果！

6