探究与发现 组合数的两个性质优质课一等奖

排 列

【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。

【教学重点】排列、排列数的概念。

【教学难点】排列数公式的推导

一、问题情景

〖问题1〗从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙，其中被取的对象叫做元素。

〖问题2〗．从a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法

由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法

二、数学构建

1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序是指：从n个排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号Anm只表示排列数，而不表示具体的排列。

3．排列数公式及其推导：由An2的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元任一个排列素，每一种填法就得到一个排列，反过来，总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数An2．由分步计数原理完成上述填空共有n(n1)种填法，∴An2=n(n1)

由此，求An3可以按依次填3个空位来考虑，∴An3=n(n1)(n2)，

求Anm以按依次填m个空位来考虑Anmn(n1)(n2)(nm1)，得排列数公式

如下：

mAnn(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

说明：

（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下：

nAnn(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）

4．阶乘的概念：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时Annn(n1)(n2)321；把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘表示：n!

，

即Annn!规定0!1．

5．排列数的另一个计算公式：Anmn(n1)(n2)(nm1)

n(n1)(n2)(nm1)(nm)321n!n!m

即

An=(nm)!。

(nm)(nm1)321(nm)!三、知识运用

3【例1】计算：（1）A16；

（2）A66；

（3）A64．

3

＝161514＝3360

；解：（1）A16（2）A66

＝6!＝720

；（3）A64＝6543＝360。

【例2】（1）若Anm17161554，则n

，m

．

（2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示为

．

解：（1）n17，m14

．

15（2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)＝

A69n．

【例3】（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数

共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？

21413182

解：（1）A525420；（2）A5554321120；（3）A146(m1)!8!A6【例4】计算：①24；②

An1(mn)!．

A8A10m1解：①原式87654321654321

871098757654325130=；

56(89)623(m1)!1(m1)!(mn)!．

(mn)!②原式【例5】（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A5354360，所以，共有60种不同的送法

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125，所以，共有125种不同的送法

说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每

人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算

【例6】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

1解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A3种；

第二类用2面旗表示的信号有A32种；

第三类用3面旗表示的信号有A33种，

123A3A333232115，

由分类计数原理，所求的信号种数是：A3答：一共可以表示15种不同的信号

【例7】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解法1：用分步计数原理：

所求的三位数的个数是：12A9A9998648

解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有A93个，个位数字是0的三位数有A920的三位数有A92个，

由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：A93A92A92648．

3解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中以0为排头32A9648-A92．

的排列数为A92，因此符合条件的三位数的个数是A10个，十位数字是说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出

来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏

【例8】（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5040．

（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A66=720．

（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步

甲、乙站在两端有A22种；

第二步

余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22A55=240种排列方法

（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法，所以一共有A52A55＝2400种排列方法

解法2：（排除法）若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A77－2A66＋A55=2400种．

说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑

四、课堂练习

1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种

B．10种

C．12种

D．16种

2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（

）

A．3种

B．6种

C．1种

D．27种

3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为（

）

A．A79k

50k293030

B．A79k

C．A79k

D．A50k

4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（

）

A．24种

B．72种

C．96种

D．120种

5．给出下列问题：

①有10个车站，共需要准备多少种车票？

②有10个车站，共有多少中不同的票价？

③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？

④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？

⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？

以上问题中，属于排列问题的是

（填写问题的编号）

6．若x{x|Z,|x|4}

，y{y|yZ,|y|5}，则以(x,y)为坐标的点共有

个

7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？

8．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？

1234A4A4A49．计算：

（1）5A534A42

（2）A410．分别写出从a,b,c,d这4个字母里每次取出两个字母的所有排列；

11．写出从a,b,c,d,e,f这六个元素中每次取出3个元素且必须含有元素a的所有排列

答案：1. C

2. B

3. C

4. B

5. ①③⑤

6. 63

7. 60

8. 24

9. ⑴348；ab,

ac,

ad,

ba,

bc,

bd,

ca,

cb,

cd,

⑵64

10.共有A4212个：da,

db,

dc

11. 共有C52A3360个，具体的排列略