2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率主要内容及教案内容

2.1直线的倾斜角与斜率（第一课时）教学设计

教学目标:

知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式及应用．

情感态度与价值观

(1)

通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，体验用代数方法（坐标法）刻画直线斜率的过程；

(2)

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；

重点：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式

难点：斜率概念的学习，过亮点的直线的斜率公式

教学用具：多媒体

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

一、引入

立体几何：以公理为基础，根据点、线、面的关系研究几何图形的性质；

解析几何：在直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数的方法来研究几何图形的性质

师：在平面中直线是最简单的曲线，今天我们首先来研究直线的倾斜角与斜率

二、探究、形成概念

1.直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? YabcOPX

（1）它们都经过点P.

（2）它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角

α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

[设计意图]：学生通过观察图形与讨论，理解确定直线的条件以及直线倾斜角的定义。

练习1：下列四图中，能表示直线倾斜角的是（

）

练习2：判断下列的说法是否正确

(1)平面直角坐标系中每一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。（

）

(2)每一个倾斜角都对应唯一的一条直线

。

（

）

[设计意图]：通过练习，巩固直线倾斜角的概念

2.直线的斜率

泰山景点十八盘十分有名，部分岩

层陡立，倾斜角70°至80°，在登

十八盘时非常吃力，在不足1千米的

距离内升高400米

日常生活中，我们经常用坡度（比）来刻画物体的倾斜程度。那么在解析几何中还可以用什么来刻画直线的倾斜程度呢？

类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的量——直线的斜率

定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tan

思考：倾斜角是90 °的直线有没有斜率? 当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在；当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 师：由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

练习3：如图已知直线l1的倾斜角是30，直线l2与l1垂直，

则直线l1的斜率k1______________；

直线l2的斜率k2______________；

师：学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

3.

直线的斜率公式

师：两点定则直线确定，则直线的倾斜角确定，那么能否由两点的坐标来刻画直线的斜率(倾斜角)呢？

探究：给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 在老师的引导下，学生合作得到两点的斜率公式，这其中蕴含了分类讨论与数形结合的数学思想

斜率公式: koy2y1

x2x1

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1)

当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当

y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. 三、例题巩固所学

例1. 如下图，已知A(3,2),B(-2，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

[设计意图]：巩固本课时所学的基本知识。

[学生活动]：学生板演，然后讲解。

例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1和-3的直线l1与

l2

．

[设计意图]：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。

四、课堂小结

1、倾斜角与斜率的定义、及两点的斜率公式；

2、转化、数形结合的思想

师：直线的倾斜角和斜率都是能表征直线的倾斜程度的量，前者是从形的角度而后者是代数的角度，这里面体现了数与形的完美结合，正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”

五、作业: （1）课本89页A组第1、2、3、4、5题 （2）课时练 第一节第一课时 六、板书设计

§2.1.1 直线的倾斜角与斜率

1.

直线的倾斜角

2.

直线的斜率

3.

两点的斜率公式