1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计及教案分析

独立性检验的基本思想

东莞市虎门中学 王锐

一、内容和内容解析

1. 内容：

人教A版选修1—2第10页至第13页《独立性检验的基本思想》. 2. 内容解析：

本节课是人教A版选修1—2第一章第二节的内容．虽然本节是新增内容，理论性强，教学时间也不长，但它贴近实际生活，是数学在生活中应用的很好的体现，地位不容忽视.在学习本节知识之前，学生已经学习过事件的相互独立性，回归分析的基本思想及初步应用.本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，并科学的给出判断两个分类变量有关系犯错误的概率，是对事件的相互独立性内容的提升.独立性检验是统计推断中一类重要问题，是培养学生统计思想的好题材，也是应用统计中常用的基本方法，是进一步学习统计知识的基础. 在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤.独立性检验的统计思想对学生来说理解比较困难.因此，本节课的教学基本思路为：先经历数据收集、处理，再用等高条形图定性分析“吸烟与患肺癌有关系”，最后利用独立性检验定量给出“吸烟与患肺癌有关系”判断出错误的概率.结合典型案例的研究，帮助学生了解独立性检验的基本思想、方法和初步应用. 二、目标和目标解析

1. 目标：

（1）理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义. （2）了解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤. （3）先借助等高条形图感受两类变量的相关性，再利用独立性检验提供了两个分类变量不相关的可信度.让学生体会到数学的严谨性. 其中第（2）条是重点目标，也是《课程标准》中明确指出的教学要求之一. 2. 目标解析：

（1）能通过实例区分定性变量与定量变量. （2）能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题. （3）本节课主要体会独立性检验的思想，借助构造随机变量，科学的给出判断两个分类变量有关系犯错误的概率. 三、教学问题诊断

基于对学生已有数学水平的分析，在本节新学内容时，以下几点是初学者不易理解或掌握的：

1. 如何理解独立性检验的基本思想？

这个问题需要和反证法做一个对比，学生可以通过完成表格(印在导学案上)以对二者的基本思想作比较并加以区别.表格内容如下：

反证法思想

用于独立性检验的假设检验思想

备择假设H1：事件A、B有关. 目标

要证明结论A. 推理前提

在A不成立的前提下进行推理. H0：事件A、B无关. 推出矛盾，意味着结论A成立；推出有利于H1成立的小概率事件发过程

推不出矛盾不能对A下任何结生，意味着H1成立的可能性很大；否论. 则，接受原假设. （1)假设H0成立；

操作

步骤

（1）假设H0的反面H1成立；

（2)计算统计量K2的观测值k；

（2）推导矛盾，从而H1不成立；

（3)通过比较k与k0的大小给出结（3）由H1不成立说明H0成立；

论：k小则有利于H0成立，k大有利于H1成立；

2. 独立性检验的一般步骤是什么？

教材在处理这个问题时，重点是介绍独立性检验的基本思想，没有明确其实施步骤.解题步骤不够明显，需要提炼出一般步骤. 大致可以分为以下几步：

（1）提出原假设H0：两个分类变量独立(无关)，备择假设H1：两个分类变量有关，并假设H0成立；

（2）确定允许犯错误的概率的上界，找到临界值k0；在假设H0下，计算K2的观测值k；

（3）求出P(K2k0)，我们认为在一次试验中，小概率事件是不可能发生，所以假设H0出错，从而接受H1；若kk0时，我们没有充分理由拒绝H0，也就没办法接受H1了. 3. 为什么在最后结论的表述时要出现“在犯错误的概率不超过XX的前提下”这样的形式. 这是初学者较难理解的问题，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能发生的(用反证法，如果始终不发生，就是不可能事件了)，而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的，但是犯错误的概率非常小，我们就把犯错误的最大概率等同于小概率事件发生的概率了. 4. 随机变量K2的结构有点突然，在情感上学生不容易接受.

学生会质疑为什么会这样构造？作为文科教学内容，教材淡化了公式的由来，但设计本节课时，作出简单的推导，让学生先体会到ad与bc的数值差与判断两类变量是否有关系存在联系，然后直接给出公式. 5. 本节课涉及到的字母较多，教学中注意引导学生加以区分. 在本节课教学过程中，学生对随机变量K2、观测值k、临界值k0各自的具体意义不清晰，比较容易混淆. 四、教学支持条件分析

1. 课前需要全班同学课前收集数据，为课堂提供数据支持；

2. 利用导学案辅助教学，导学案的设计将直接影响本节课课堂教学效果. 五、教学过程设计

教学环节

师生活动

设计意图

问题1：

“吸烟有害健康”，这是我们很从身边熟悉的现象导入新熟悉的常识.经常有人说：“吸烟的人更容课，让学生体会到生活中问题引入

（2分钟）

易犯肺癌”.“吸烟与犯肺癌究竟有多大关处处蕴含着数学. 系”

生：思考，质疑

我们一般过程：收集数据、处理数据、数学建模. 问题2：假如我们收集数据如下：吸烟患肺列联表是本节课的一个新癌的人数为49，吸烟不患肺癌的人数为概念，但比较简单，引导2099，不吸烟患肺癌的人数为42，不吸烟学生得出分类变量、列联不患肺癌的人数为7775.我们应该如何表表、等高条形图.并展示列示这些数据？

生：思考，回答

收集与表示数据

（8分钟）

问题3：你能指出分类变量和数学中普通的从概念的内涵与外延揭示变量在本质上有什么差别吗？你能否再举分类变量的本质属性. 出几个分类变量的例子？

生：思考，回答

问题4：为了判别吸烟与患肺癌两件事是否学生对等高条形图方法优相关，课本上采用了两种方法，等高条形劣的认识，体现出引入独图法和独立性检验法，你能说出等高条形立性检验方法的必要性，图法的优缺点吗？

运用Excel软件现场制作等高条形图

生：思考，观察，回答

等高条形图只能感性认识吸烟与患肺癌有关系，定量上有多大关系只有依靠联表及等高条形图.

独立性检验,同时也体会到了科学研究的严谨性. 问题5：在假设H0

：“吸烟与患肺癌没有记事件A{“吸烟”}，

“患肺癌”}，若A与关系”成立的条件下，能推导出a，b，c，B{B无关，则吸烟患肺癌与d有怎样的关系？

不吸烟患肺癌比例相等。bd生：思考，回答

所以，化简abcd得：adbc. 问题6：是不是ad与bc差距越大时，我们明确|adbc|越大，吸烟越有把握认为吸烟与患肺癌没有关系？

生：思考，回答

理的评判标准，统计学家们经过研究后构造了一个随机变量

与患肺癌关系越强；|adbc|越小，吸烟与患为了使不同样本的数据有一个统一而又合肺癌关系越弱. n(adbc)2，

K(ab)(cd)(ac)(bd)2nabcd（n为样本容量）. 当我们将具体数据代入上式，可以得到随概念建构

机变量K2的观测值k. （18分钟）

问题7：在数据处理过程中，我们用到随机进一步强化随机变量K2变量K2.假定我们想证明收入高低与学历的观测值k越小，越有利高低无关，那么随机变量K2的观测值k越于说明两类变量之间越大越好还是越小越好？为什么？

生：思考，回答

信程度下K2的临界值如下表：

拒绝H（接0受H1）

0.95

0.990

0.999

“独立(无关)”，反之说明越“相关”. 统计学家们经过大量试验，得到了各种可理解临界值表的意义，会利用临界值表给出判断两类变量之间有关系犯错误的概率的上限. P(K2k0)

接受H0

0.05

0.010

0.001

临界值k0

3.841

6.635

10.828

问题8：假设在一次统计过程中，得到K2的观测值k6.672，我们接受H0的概率不超过多少？拒绝H0（接受H1）犯错误的概率是多少？

生：思考，回答

问题9：通过上面的学习过程，你能归纳独教材在处理这个问题时，立性检验的一般步骤吗？

生：思考，回答

重点是介绍独立性检验的基本思想，没有明确其实施步骤.解题步骤不够明显，需要提炼出一般步骤. 问题10：从整体思路上看，独立性检验的使学生初步体会独立性检思想与反证法的思想有些类似之处，能将验的整体思想，并与所学下列表格补充完整吗？

反证法思想

要证明结论A. 的反证法思想相对比，加独立性检验思想

备择假设H1. 在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理. 推出有利于H1深对独立性检验的思想理解，顺便归纳整理独立性检验的一般步骤.

目标

推理前提

在A不成立的前提下进行推理. 总结提升

（5分钟）

推出矛盾，意成立的小概率味着结论A成事件发生，意味过程

立；推不出矛着H1成立的可盾不能对A下能性很大；否任何结论. 则，接受原假设.

（1）假设H0的反面H1成操

立；

作

（2）

推导矛步

盾，从而H1不骤

成立；

（3）由H1不成立说明H0成立. 巩固强化

练习：教材（人教A版选修1—2第15页进一步熟悉独立性检验能

（5分钟）

练习）

解决什么问题，解决步骤如何.解题书写格式. 课堂小结

1.独立性检验的基本思想. （1分钟）

2.独立性检验的实施步骤. 及时总结，明确重点. 布置作业

作业：教材（人教A版选修1—2第16页及时巩固提高所学知识. （1分钟）

习题1.2第1,2题）

六、目标检测设计

1. 某中学希望研究性别与选报科目之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？

【设计目的】主要考查学生对分类变量概念的理解. 2. 能够将下列数据列成一张表格便于统计？

在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动. 【设计目的】主要考查学生对22列联表掌握情况. 3．由列联表

x

10 20 30 y

合计

55 50 105 a

b

45 30 75 合计

得随机变量K2的观测值k为 . 【设计目的】主要考查学生利用统计数据求随机变量K2的观测值. 4. 在一次独立性检验中，其把握性超过了99%，随机变量K2的观测值k的值可能为（ ）

A. 6.635

B. 5.024

C. 7.897

D. 3.841

【设计目的】主要考查学生对临界值表的应用. 5. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：

男

女

合计

非统计专业

13 7 20 统计专业

10 20 30 合计

23 27 50 为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到随机变量K2的观测值k4.843.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性_______. 【设计目的】主要考查学生独立性检验的结论的表达.