1.2.2 空间中的平行关系教案推荐

1.指导思想与理论依据

《高中数学课程标准》指出高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，在解决问题时，不断的经历直观感受、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，这些思维过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用. 《高中数学课程标准》还指出数学课应返璞归真，揭示本质，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法. 本节课通过课前自主探究，使学生确定处理线面平行问题的途径，体会两种转化：即利用判定定理与性质定理对三种平行问题间的转化和将空间问题向平面问题的转化；通过对解题思路本源的追溯，引导学生对平面基本性质及推论进行再认识，进而形成一种有理有据的解决立体几何的思考方法，这种对思路的追溯过程，着力于学生数学思维能力及空间想象能力的培养，让学生体会到数学理性思维的美妙. 维果茨基的建构主义的最近发展区理论中指出，学生者只有在最近发展区内才有可能进行真正的学习，而想达到可能达到的发展水平需要给学习者搭支架，通过搭架子让学生顺利地跨越“已知区”到“最近发展区”，甚至“未知区”，然后再减少支架，让学习者逐渐完成任务.建构主义还认为教师不仅是知识的传授者，应该是教学环境的设计者、学生学习的组织者和指导者. 本课教师通过设计支架，让学生寻找到一种可以参考的思维方式，理清思路，进而程序化地作出辅助线，学生在此过程中，积累了利用平面基本性质及推论构造平面的数学活动经验，之后，学生再利用已有的经验，独立完成习题，真正实现了区与区之间的学习飞跃.

2.教学背景分析

教学内容：

空间中的平行关系分为线线平行、线面平行与面面平行，它是点、线、面之间的位置关系这一单元的重要内容之一，是平面几何中的直线平行关系向空间的推广及进一步的研究, 为进一步培养学生的空间想象能力和几何论证能力发挥着重要作用，它又为用向量工具学习立体几何打下基础. 本节课以处理直线与平面平行问题为载体，以“学习方法的指导”为任务.学生经历平行关系在应用时的相互转化,进而总结出处理线面平面问题的两个途径即：通过证线线平行或面面平行达到解题的目的.而当用线线平行推出线面平行时，最关键的是要找到平面中的交线，理论上讲这样的交线是有无数条的，那能否有种通用的方法来一步一步的创造出这条交线来呢？在教师导学问题链及搭建支架的引领下，通过对交线从何而来的追本溯源，发现，确定DF所在的平面，并依据平面基本性质来扩展平面直至找到两个面的公共点进而1

确定交线，是一套非常具有操作性的思考方法，同时，这种有理有据的思考方式也拓宽了学生解决问题的视野，一题多法不再是遥不可及的事，整节课让学生体会数学理性思维过程，形成严谨的科学态度. 学生情况：

学生学习本课之前已经有一定的知识储备，已完成线面平行、面面平行相关判定定理及性质定理的学习，但对用较简单的位置关系去认识或体现较复杂的位置关系，即三种平行关系在应用时的相互转化，大部分学生仍不太熟练，而在定理的应用过程中，往往需要添加辅助线，构造平面，学生会有种会者不难可又讲不出原因，不会者总也想不到的感觉，到底怎么想出来的？为什么？说不清楚. 教学方式：启发式、探究式

教学手段：多媒体辅助教学

3.教学目标(含重、难点)

1、知识与技能目标

掌握线面平行的判定定理和性质定理的应用，积累利用平面基本性质及推论构造平面的数学活动经验. 2、过程与方法目标

在处理线面平行问题的过程中，体会两种转化：即三种平行问题间的转化和将空间问题向平面问题的转化，获得如何构造平面以解决立体几何问题的思考方法. 3、情感、态度与价值观目标

通过对线面平行问题的深度思考，体会数学理性思维之美，形成严谨的科学态度.

重点：线面平行的判定定理和性质定理的应用. 难点：如何构造平面以解决立体几何问题的思考方法.

教学流程示意

分享课前成果，

确定方法

点评

开始

2

板书

直线与平面平行

1.三种平行关系的转化： 2.延展平面 找交线

线 线 面

线 面 面

平 平 平

行 行 行

结束

独立完成

课后作业

小结

反思方法

归纳总结

归纳并板书

落实方法

巡视并点拨

追溯思路产生的来龙去脉

引领学生思考

3

A'βDFmαB4.教学过程

教学

环节

课前教师活动

1.平面的基本性质及推论？

预计答案：

1.三个性质+三个推论.

2.三种平行的相互关系：

线面平行

课前独立完成. 学生活动

对知识进行梳理，为课堂内容做好知识上的储备．

引发思考：怎样处理线面平设计意图

准备

2.三种平行的相互关系？

3.已知：正三棱柱A'B'C'ABC中，AA'ABa,D为CC'的中点，F是A'B的中点。

求证：DF//平面ABC. （要求多种解法解题）

A'B'FABC'线线平行 面面平行

D3.用面面平行证的较多，期待分享方行问题，怎样法.

添加辅助线？

C

请学生分享课前成果：

学生展示

预计答案：

1.三种平行的相互关系; 线面平行

线线平行 面面平行

4

对知识进行梳理，同时引出处理线面平行问题的两种途径. 分享

问题1：三种平行间的转化？

成果

按图问题2：已知：正三棱柱A'B'C'ABCF中，AA'ABa,D为CC'的中点，索骥

是A'B的中点.

求证：DF//平面ABC.

学生分享成果，引领学生DQA'B'FABC'

2.

学生展示方法一：

DA'B'C'CAFC思考、归纳，明确处理线面平行的两种途B图1

径.

设计导学问题

教师引导学生活动：（通过导学问题链，

学生展示方法二：

引导学生如何添加辅助线，问1—问12）

对方法二的思路进行追溯：

问1：若利用“线线平行证线面平行”怎样才能在平面ABC中找到与DF平行的直线？

问2：如何找到“过DF且与平面ABC相交的平面”？

对方法三的思路进行追溯

问3：交线在理论上应该有多少种可能？你能再找到一条？

问4：确定平面的方法常用的有哪几种？

问5：若依据“直线和直线外一点”确定平面，“直线”应选谁？“点”从哪儿找？

（可能会有学生提出平行投影的想法）

AOBB'FCDA'C'链，引发学生逆向思考,通过追溯思路产生的来龙去脉以解决如何制造线、面来处理线面平行问题，即如何有理有据的添加图2 在问题的引领下，引发思路，想出方辅助线. 法三.

方法三： 学生在教师的引导下思考、完成辅助线的添加. 预计答案：

支架:利用平面基本性质1和3确定另一个公共点及其位置，为图3

5

问6：两个平面有一个公共点就可以确定它们一定有一条交线吗？

问7：怎样把一“块”平面扩展得更大？向哪个方向延展以至于与另一个平面相交？

搭建支架：

从问题2的正三棱柱中提取图形，请你画出平面DBF与平面的交线. A'A'B'FABC'方法中的找交线搭架子，问9D中再次巩固这PC种延展平面的方法，而对于不能确定另一公共点位置图3

A'小

C'B'FCBA'时，引出解题时的优化意DβDF识，由构造平行线来延展平面，进而解释方法二是如何确定平面的.

β

A

mαB

问8:若依据“直线和直线外一点”确定平面，

“点”除点B还可以选其他点吗？

问9:如何延展DFC找到与平面ABC的交线？

问10：方法二是怎么确定平面的？

αm DFQB

导学问题链及支架，让学生发现看似不太有用的平面基本性质及推论在解题时发挥巨大作用，甚至会非常有效的而又巧妙的解决“如何做辅助线”的难题，并让学生体会数学理性思维的美妙. 构造平行方法延展平面FDC，即方法二.

问11：交线在理论上应该有多少种可能？

位置关系怎样？

问12：再譬如：过DF和BC的中点N也

6

应该能找到符合条件的“交线GN”G在AB什么位置？(回答并证明问题2，作为课后思考题)

A'B'FAOBC'

问12:让学生D体会选点位置不同，会影响C

解题过程的繁简，引发思考，进而优化解题..

应用

方法

类比着问题2的解题思路解决问题3，巩固上题的解题方P问题3：已知：正四棱锥PABCD中，

有比例、平行，会想到“A”字形、“8”M、N分别为PA、BD上的点，且有字形.

预计答案：

DN:NBAM:MP2:1，

求证：MN//平面PBC.

P

MD法.

FBCNMDNABCAKBPMDECN

教师点评：三种方法归根到底应为两种：即线面平行的判定定理与面面平行的性质定理，而这两种条途径殊途同归则是证线线平行。

7 A

引导学生体会证线面平行的关键是在证线线平行，进而对证线线平行

思考：线线平行的证明方法.

P方法进行梳理，以备后续解题使用,使CNABQMD解题思路更加清晰.

课堂

小结

课后作业

谈谈你本节课的收获

学生回顾、思考、小结.

对知识、方法进行回顾. 在（1）问中巩固课上所学内容；（2）为有余力的学生提供更广阔的平台，如借助坐

在正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a， M、

N分别为A1B和AC上的点，A1MNA=

2

a，

3课后独立完成

（1）求证：MN // 平面BB1C1C；（必做）

（2）求 MN 的长（选做）

CNDA标系或利用向量解题，通过问题的引领，激发学习的主BC1MA1D1动性，也为后续学习做好铺B1

垫. 5.学习效果评价设计

评价方式

本节课主要从学生的参与热情、回答问题、动手实践、小组合作探究、语言表达、概括能力、思维创造性、数学思想、总结及反思、自信等方面评价学生的学习效果。教师、同学、个人在此过程中及时的给予评

8

价，提高学生学习热情、增强学生的自信心。

评价量规

评价

A级

内容

积极举手发言，积极、有举手发言，有参与讨积极

主动地参与讨论、学习探究，享受快乐. 认真听讲，注意力非常认真

上课认真听讲，有参与注意力不集中，有时走神，极少参与讨论.

论、交流、探究. 很少举手，不太情愿的参与讨论、探究. B级

C级

评价

评价

评价

个人同学教师

集中地参与教学活动、讨论，注意力比较集认真做练习. 积极参与并主动组织小组讨论，虚心听取别中. 比较喜欢参与小组讨论，较少阐述想法，能虚心听取别人的意见. 缺乏合作精神，难以听进别人的想法.

合作

人的意见，受到同学们的欢迎. 能有条理的表达自己思维的的想法，解答问题过程条理性

清晰、简练. 能表达明白自己的想法，但条理性差些，解答过程有些繁琐、重复. 具有创造性思维，能用能用老师提供的方法思考能力差，缺乏创造性，不能独立解决问题.

不能准确的表达自己的想法，不能独立解决问题.

思维的不同的方法解决问题，解决问题，有一定的思创新性

有独立思考、解决问题的能力. 通过思考体会并能运数学

用数学思想解决问题. 运用其解决问题还有思想

待提高. 总结

反思

自信

同的问题，积极的尝试努力做出尝试. 会总结并对自己的不足进行思考. 大胆的提出与别人不会总结、对不足缺乏思考. 有表达自己的想法，并考能力,但创新思维有待提升. 通过倾听能体会到，但就题解题，体会不了这节课背后的数学思想.

不做任何思考.

不敢尝试表达自己的想法，更不敢提出与他

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表达自己的想法. 人不同的问题.

6.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数) 一

、设计导学问题链，理清思路，提升课堂价值

在解题中设计导学问题链，真正的以学定“问”，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，问题由浅入深，由感性到理性的设计，环环相扣，层层递进，从问题1到问题12，引领学生思考，从没有思路到形成思路，逐步地解开说不出的秘密，即为什么这样添加辅助线，让学生在问题的引领下形成一种有理有据的解决立体几何的思考方法，提升了课堂价值. 二、搭支架,实现区与区之间学习飞跃

数学学习支架是指学生在解决数学问题的过程中教师给予的，让学生顺利地跨越“已知区”到“最近发展区”,甚至“未知区”，然后再减少支架，让学生逐渐完成任务.本课在处理如何延展局部平面的过程中使用支架，要旨是简化图形并导引数学思维，积累数学活动经验. 三、真正落实“以学生为本”的理念

整节课并不仅仅停留在解题方法的展示上，而更多的是学习方法的指导，站在学生的角度以一个尚不知解题思路的“探求者”的身份去解释如何从没有思路到形成思路的探索过程.

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