3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质课教案

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、学习目标：

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.

二、重点难点：

重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．

难点: 复数除法的运算法则．

三、问题导学

思考

怎样进行复数的乘法运算？

答案

两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.

梳理

(1)复数的乘法法则

设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

知识点二 共轭复数

当两个复数的

实部相等

，虚部互为相反数

时，这两个复数叫做互为

共轭复数 ，z的共轭复数用z表示，即zabi，则zabi.

- 1 -

z1z2z2z1

(z1z2)z3z1(z2z3)

z1(z2z3)z1z2z1z3

知识点三 复数的除法法则

思考 类比根式除法的分母有理化，比如

13(13)(32)，你能写出复数的除32(32)(32)法法则吗？

答案

设z1abi，z2cdi(cdi0)，

则z1abizdiacbdc2d2bcadc2d2i. 2c

[思考辨析 判断正误]

1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减.(√ ) 2.两个共轭复数的和与积是实数.(

√

) 3.若zC，且z221，z21z20，则z1z20.(

×

)

体型探究

例1 计算：

（1）13i31i1i；

2222解

1331i22i221i



3331i(1i)314444i221i

=3113i1313222222i

- 2 -

212i3(1i); （2）2i解

12i23(1i)34i33i

2i2i

ii(2i)12i. 2i555(3）34i(14i)(1i)24i53i24i

解

34i34i

14i1i24i. 7i(7i)(34i)

34i(34i)(34i)

2128i3i42525i1i. 2525反思与感悟

(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算. (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.

跟踪训练1 计算：

(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；

解 (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.

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(2)3＋2i3－2i2－3i＋2＋3i；

解

3＋2i3－2－3i＋2i2＋3i

＝i2－3i－i2＋2－3i＋3i2＋3i＝i－i＝0.

(3)i－2i－11＋ii－1＋i.

解

i－2i－11＋ii－1＋i＝i2－i－2i＋2i－1＋i2－i＋i

＝1－3i1－3i－2＋i＝－2－i－2＋i－2－i

＝－2－i＋6i＋3i2－5＋5i5＝5＝－1＋i. 类型二

i的运算性质

例2

计算：(1)2＋2i21－i2＋1＋i2 016；

解

原式＝21＋i－2i＋22i1 008

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i(1i)(i)1008ii2(1)1008i1008i1i4252i11i

(2）ii2i2017.

i1－i2 017i－i2 018解

方法一

原式＝＝

1－i1－i

i－i4504·i2i＋1＝＝

1－i1－i

1＋i1＋i2i＝＝＝i. 1－i1＋i2

方法二

因为inin1in2in3in1ii2i30(nN)，

所以原式

反思与感悟

(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即ii=i2i3i4(i5i6i7i8)(i2013i2014i2015i2016)i2017(i)45042017ii

inin1in2in30(n∈N*). (2)记住以下结果，可提高运算速度

①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

1－i1＋i②＝－i，＝i；

1＋i1－i

1③i＝－i.

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跟踪训练2

(1)1＋i2 0171－i＝___. 解析

1＋i2 0171＋i1＋i

2 0172i2 0171－i＝1－i1＋i＝2

i2017i4504i1504ii

（2）化简i2i23i3100i100. 解

设S=i2i23i3100i100,

①

所以iS=i2i23i3100i100

②

①—②得

(1i)Sii2i3i100100i101i(1i100)1i100i1010100i100i

所以S100i100i(11ii)100(1i)(1i)(1i)25050i

所以i2i23i3100i1005050i

类型三

共轭复数及其应用

例3

把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z. 解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

＝a－bi，

由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，

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a＋2b＝4，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，

2a－b＝3，

所以z＝2＋i.

反思与感悟

当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.

达标检测

1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于

A.－i

C.－1

B.i D.1 1解析

z＝i＝－i.

z2.若z＝4＋3i(i为虚数单位)，则|z|等于

A.1

43C.5＋5i

B.－1 43

D.5－5i

z43解析

z＝4＋3i，|z|＝5，|z|＝5－5i.

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21i3.

已知z1i(i为虚数单位)，则复数z等于

B.1－i D.－1－i A.1＋i

C.－1＋i

1－i2解析

因为z＝1＋i，

1－i2－2i－2i1－i所以z＝＝＝＝－1－i. 21＋i1＋i

规律与方法

1.复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.

作业布置

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