2.基本不等式特级教师教学实录

人教版高中数学选修4-5第四讲用数学归纳法证明不等式课题1数学归纳法（1）

教学目标

1.知识与技能

①理解数学归纳法的概念；

②掌握数学归纳法的证题步骤。

2.过程与方法

经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法

3.情感态度与价值观

通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学归纳法使有限和无限间实现了平衡的科学意义。

教学重难点

重点:

了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

难点: 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系

教学过程

【课前预习】阅读教材92-95，并思考如下问题. （1）通过归纳推理猜想的结论是不是都正确？请举例说明. （2）教材上说数学归纳法是一种特殊的证明方法，其“特殊”体现在哪？

（3）在多米诺骨牌游戏中，能使所有的骨牌全部倒下的条件是什么？

（4）你认为证明数列的通过公式是an1与多米诺骨牌游戏有哪些相似性？请类比多米诺骨牌游戏n证明这个问题. (5)总结数学归纳法的证明步骤，并思考用数学归纳法证明的关键点和难点分别是什么？

（6）有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 请谈谈你对这句话的理解. 一、释疑解惑，导入新知

1、（1）欧拉（Euler）证明了当n=5时，21

=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．这说明了什么？

2、阅读下面两个推理，并思考用什么方法对猜想进行证明？

①有一盒没有用完的粉笔，我拿出一支，发现时白色的，然后我又拿出两支，发现还是白色的，于是我猜想这个盒子里剩下的粉笔都是白色的. ②对于数列an，已知a11,an1们猜想其通项公式是an25an(n1,2,3,...)，通过对n1,2,3,4前4项归纳，我an11. n

师生小结：否定猜想，只要举出反例即可以，若要证明猜想成立，当n较小时，可以用一一验证的方法，当n较大或证明n取任意正整数都成立，这种想法价值不大. 我们需要探求一种方法：

二、合作探究，展示成果

探究1. 教材上说数学归纳法是一种特殊的证明方法，其“特殊”体现在哪？

探究2. 在多米诺骨牌游戏这个游戏中，能使所有的骨牌全部倒下的条件是什么？

师生小结：只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：

当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。

探究3. 类比多米诺骨牌原理解决数学猜想

已知数列an，a11,an11an，你认为证明数列的通过公式是an，这个猜想与上述多nan1米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

分析：

多米诺骨牌游戏原理

（1）第一块骨牌倒下。

通项公式an1的证明方法

n（1）当n=1时a1=1，猜想成立

（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。

a（2）若当n=k时猜想成立，即k1k

，则当n=k+1时猜想也成立，即ak11k1

。

根据（1）和 （2），可知不论有多少块

根据（1）和（2），可知对任意的正整数

骨牌，都能全部倒下。

n，猜想都成立。

【知识提炼】数学归纳法的原理

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k(kn0,kN)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法

注意：（1）这两步步骤缺一不可。

（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。

三、知识应用、拓展延伸

1、错例剖析

下面用数学归纳法证明的过程是否正确？指出错误，并纠正。

1n(n1)1,某同学证明如下：

21证明：（1）假设当nk时等式成立，即123kk(k1)1

2那么，当nk1时，左边=123k(k1)

123①证明：n11k(k1)1(k1)(k1)(k2)1

22即当nk1时等式也成立. （2）故原等式对任意nN成立. 所以上面等式对一切正整数都成立. *

②证明：1222232n12n1,某同学证明如下：

2k12k1

证明：⑴当n1时，左边=1，右边=1，所以等式成立. 23⑵假设当nk时等式成立，即：1222那么，当nk1时，

1222232k12k112k112*2k11

即当nk1时等式也成立. 综合(1)(2)知，原等式对任意nN都成立. 2．典例讲评

*例1.用数学归纳法证明：当nN时，123n22222n(n1)(2n1)．

6证：（1）当n1时，11，1(11)(211)1，结论成立．

6k(k1)(2k1)2222（2）假设nk时，结论成立，即123k，

6那么

22222k(k1)(2k1)(k1)(2k2k6k6)2123k(k1)(k1)662(k1)(k2k76)k(1k)(2k)(23k)(k1)[(1k)1][2(1)．

666所以当nk1时，命题也成立．

*根据（1）和（2），可知结论当nN时都成立．

111,,,1447710

1]点评：应用数学归纳法证明时，第一步验证是基础，第二步推证是证明的关键，二者缺一不可，且在推证nk1时，必须使用nk时的结论，否则就不是数学归纳法. 例2．已知数列,1,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的(3n2)(3n1)表达式,并用数学归纳法进行证明．

11112213314；S2；S3.

；S4144447777101010101313可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n1.于是可以n猜想Sn. 3n1证：S1下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n1时，左边=S1*1n11,猜想成立．

,右边=43n13114（2）假设nk(kN)时，猜想成立,即

1111447710那么

1k,

(3k2)(3k1)3k111111

1447710(3k2)(3k1)[3(k1)2)][3(k1)1]k1

3k1[3(k1)2)][3(k1)1]

3k24k1(3k1)(k1)

(3k1)(3k4)(3k1)(3k4)k1．

3(k1)1所以当nk1时，猜想也成立．

*根据（1）和（2），可知猜想对任何nN时都成立．

点评：探索性问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论.它的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明. 3.巩固提升

1an2（1）用数学归纳法证明：“1 + a + a

+…+a =

(a≠1)”，在验证n = 1时，左端计算所得1a2n+1的项为（

）

A．1 答案：C （2）某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）

A. n=6时该命题不成立 B. n=6时该命题成立 C. n=4时该命题不成立 D. n=4时该命题成立

答案：C （3）用数学归纳法证明等式:

B．1 + a

C．1 + a + a2

D．1 + a + a2 + a3 1n2(n1)3(n2)n11n(n1)(n2)

6的过程中，由n＝k到n＝k＋1左边增加的代数式为

答案：123(k1)

四、感悟小结、布置作业

1.数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论；

2.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 请谈谈你对这句话的理解. 3.作业布置：

（1）必做练习

P96 A组2题 B组1题

an（2）选做作业：若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.

1＋a2n①求a2，a3，a4，猜测{an}的通项公式并证明；

②设Sn＝a1＋a2＋a3＋…an.比较Sn与2n－1的大小关系，并给予证明．