2.3.1 圆的标准方程优秀教案说课稿

高一合案

之《数学②必修》第二章

解析几何初步

第?课时

2.3.1 圆的标准方程

一.三维目标:

1.知识与技能: 掌握圆的标准方程,会根据不同条件选择合适的方法(几何法或待定系数法)求圆的标准方程;能从圆的标准方程中直接读取它的圆心和半径;会判断点和圆的位置关系;能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 2.过程与方法: 经历圆的标准方程的探究过程,体验数形结合、化归等数学思想方法在问题解决中的运用;培养学生的观察、比较、分析、概括、批判等思维品质;借助实例体会科学的探究方法. 3.情感、态度与价值观

通过合作交流,自主探究,提高数学学习的兴趣,激发求知欲,培养科学精神,让学生懂得追求真理是人成长的内在需要. y

二.知识生发:

P(x,y)

r

1.问题情境

(1)如何用轨迹的观点描述圆? C(a,b)

平面内到一定点的距离等于定长的点的x

O

轨迹是圆.定点是圆心,定长为半径. (2)如何建立以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程? 2.圆的标准方程(图1) (1)以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为

_________________.(xa)2+(yb)2=r2①如何求曲线方程(轨迹问题) ②(x2+y2−1)(x−2)=0是以原点为圆心,半径为1的圆的方程吗?一个方程是圆的方程,需明确两点:其一,…;其二,…

③圆的标准方程的特点

(2)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为_________________.x2+y2=r2

1

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3.点和圆的位置关系(图1、2、3) 问题:研究P(x0,y0)和圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)的位置关系

方法:比较P点到圆心C的距离d(P,C)与半径r的大小关系

结论:①点P在圆C上d(P,C)=r(x0−a)2+(y0−b)2=r2; ②点P在圆C内d(P,C)r(x0−a)2+(y0−b)2>r2. y y y

P P

P C

C C

x x x O O O

(图2) (图1) (图3)

4.圆划分平面区域(图1、2、3) ①圆上点的集合:{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=r2} ②圆内点的集合:{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2r2} 三.典例导引:

例1.根据下列条件,求圆的方程: (1)圆心在C(−3,2),并过点A(1,−1); (2)圆心在点C(3,2),并与直线4x−3y−7=0相切; (3)过点A(1,−1)和点B(0,−2),半径为5; (4)过点B(0,−2),D(−7,5),且圆心在直线l:x3y+9=0上. (1)半径r=(−3−1)2+(2+1)2=5圆的方程为(x+3)2+(y−2)2=25

|−12−6−7|22(2)半径r=2=5圆的方程(x+3)+(y−2)=25

23+(−4)(3)设圆方程为(x−a)2+(y−b)2=25,把两个点代入得

2222a+(b+2)=25a+b+4b=21……①设22

22(a−1)+(b+1)=25a+b−2a+2b=23……②2

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所求圆的方程为(x+3)2+(y−2)2=25和(x−4)2+(y+5)2=25

y (4)BD的垂直平分线为l1:x−y+5=0

D x−y+5=0x=−3联立

l1 x−3y+9=0y=2C 得圆心C(−3,2),半径r=|AC|=5

故所求圆的方程为(x+3)2+(y−2)2=25

O

B 22例2.赵州桥的跨度是2a−b

m,圆拱高为a+b m,其中正数a,b是常数.建立适当的坐标系,求这座圆拱桥的拱圆方程.(注:赵州桥坐落于河北省赵县洨河,建于隋炀帝大业年间,至今已有1400年的历史,是今天世界上最古老、最著名的单孔空腹式石拱桥.实测的数据是跨度

2a2−b2=37.02,a+b=7.2) y y

D D

A B A B x

O

x C O

法1.按左图方式建立坐标系,设圆心C(0,c) 设圆的方程为x2+(y−c)2=r2

把B(a2−b2,0)及D(0,a+b)代入此方程c=b,r=a

得拱圆方程为x2+(y−b)2=a2

法2.按图2方式建立坐标系,圆心在原点O 设圆的方程为x2+y2=r2

把B(a2−b2,r−a−b)及D(0,a+b)代入此方程r=a

得拱圆方程为x2+y2=a2

3

22a=−3a=4a+b+4b=21……①或

b=2b=−5②−①a+b=−1……③l x 拱高

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四.精练掌控:

3.设实数a,b,c,d,都是常数,若(ax−b)2+(cy−d)2=是某个圆的方程,则( )C

(A)a=c=1,且>0

(B)a=c≠0,且≠0

(C)|a|=|c|≠0,且>0

(D)ac≠0

4.下列圆(其中a,b是常数,ab≠0)中,经过坐标原点的是( )D

(A)(x−a)2+(y−b)2=a2(B)(x−a)2+(y−b)2=b2

(C)(x−a)2+(y−b)2=a2+b2

(D)(x−a)2+(y−b)2=a2+b2

5.半径为r,圆心在第四象限,并且与坐标轴都相切的圆是( )B

(A)(x−r)2+(y−r)2=r2(B)(x−r)2+(y+r)2=r2

(C)(x+r)2+(y−r)2=r2(D)(x+r)2+(y+r)2=r26.设点P(3,−6)到圆(x+3)2+(y−2)2=25上各点的距离为d,则d的最大值是( )C

(A)5 (B)10 (C)15 (D)53

7.若曲线C的方程是(y+16−6x−x2−2)(x−21+4y−y2+3)=0,则曲线C的长度为( )B

155

(A)10

(B)

(C)5

(D)

22五.课堂小结:

________________________________

六.作业回馈:

9.已知点A(−7,5),B(1,−1),以线段AB为直径的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=25

10.经过点A(−6,6),B(1,−1),C(0,−2)三点的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=25

11.圆C过点(0,6)且与直线l1:x=2和l2:y=−3都相切,若使圆C的半径最小,则圆C的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=25

12.已知圆C:(x−2)2+(y+3)2=25,圆C′与圆C关于直线l:x−y=0对称,则圆C′的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=25

13.已知等腰三角形的顶点A(−3,2),一底角顶点B(2,2),则另一底角顶点C(x,y)的轨迹方程为________.(x+3)2+(y−2)2=25(x≠2且x≠−8) 14.已知点A(−6,0),点P是圆x2+(y−4)2=100上的动点,M为线段PA的中点,当点P在圆上运动时,求动点M的轨迹方程. (x+3)2+(y−2)2=25

4

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A1 C A −3 y y 2 O x

A2 C −3 2 O y=2 x P(3,−6)

x=−3 x2+(y−4)2=100 P(x0,y0)

C(x,y)

y M(x,y)

A A(−6,0)

−8 −3 2 O B 2 x 5