10、解决问题的策略（3）教案及板书设计

怎样围面积大？

江苏省常州市金坛区河头小学

一、教学目标： 1.在一一列举中体会“周长相等的图形，面积不一定相等”。 2.观察、比较中发现“周长一定时，长方形长、宽与面积大小是有关系”。

3.沟通与联系中感受结论的一致性。

4.通过合作和交流，培养学生的策略意识，培养学生记录、整理、观察、总结的能力和合情推理的能力。

二、教学重点：总长度一定时，一面靠墙怎样围出最大的面积。

教学难点：沟通靠墙围与不靠墙围的内在联系，并进一步拓展到其他图形。

三、教学准备： 课件、实验记录单、方格纸。

四、教学过程：

课前谈话：在上课前我们先来活跃一下气氛，一起来猜个谜语。

平又平，亮又亮，平平亮亮桌上放。它会告诉你，脸上脏不脏。(猜一生活用具) 以为在前面，其实在后面，以为在里面，其实在外面。

（打一常用物）

（一）谈话导入

最近老师在备课的过程中对一道习题的结论产生了一点怀疑，你们想知道我怀疑什么吗？

（二）回顾结论

出示题目：用20根1米长的木条，围成一个长方形（或正方形）菜地，可以有几种不同的围法，怎样围面积最大？

看了这道题你打算用什么策略来解决？（一一列举的策略）

在研究单1上有序的列举出各种不同的围法并计算出它们的面积。

第一层次：

展示交流【选择几种典型的研究单1分层次展示：不完整--完整—有序且完整】

你最喜欢几号作业单上的列举？为什么？

他是怎样做到有序列举。【从宽是1m开始列举】

【研究单1】

长（m）

宽（m）

周长（m）

面积（m）

第二层次：

29 1 8 2 7 3 20 6 4 5 5

9 16 21 24 25

观察归纳：观察研究单1中列举的数据，你有什么发现？

【结论】当周长一定时，围成长方形的长与宽越接近，面积就越大。围成正方形时面积最大。

动画演示长与宽的变化引起面积的变化过程。

你们感受到了周长一定时，长方形的面积变化了吗？

小结：刚才你们运用了有序列举的策略回顾了一个面积变化的规律，我们一起经历了列举、观察、思考、归纳等过程。

（三）变式设疑、沟通联系

出示题目：用12根1米长的木条，靠一堵墙围成一个长方形（或正方形）菜地，怎样围面积最大？【学生读题】

提问：比较一下，这两道题有什么不同？（生：围法不一样）

追问：靠一堵墙围说明了什么？这样围三条边的总长度应该是多少？

追问：这样的围法还能像刚才那样，抓住长方形的周长的一半来列举吗？为什么？那怎样可以做到有序列举呢？

下面请同桌两人为一个小组，先一起议一议有哪些不同的围法，然后其中一人在方格图里有序的画一画围出的图形，另一人把画出图形的长和宽整理到研究单2里面并计算出面积。

【分层展示学生的研究单2：不完整（或有错误）--完整--有序且完整】

几位同学的列举，你认为几号最好，为什么？

各小组完善一下你们的研究单和图形。

【研究单2】

长（m）

宽（m）

木条的总米数（m）

10 1 8 2 6 3 12 4 4 2 5

面积（m）

210 16 18 16 10

观察研究单2中列举的数据，谁能来归纳一下结论？

【结论】当周长一定时，靠一堵墙围，围成的长方形的长是宽的2倍时，面积最大。

比较：比较两次发现的结论。【1.木条的总米数都是一定的 2.围法不同 3.结论也不同】

追问：这两条结论是不是“自相矛盾“了呢？ 古希腊哲学家苏格拉底曾经说过：

1.怀疑是无限的探求。

它们之间是否存在内在的联系呢？

成功有时还需要一点点灵感。你灵感了吗？如果把那堵墙当作一面镜子，你会想到什么？

在方格图里把镜子里的图画出来。

展示学生的作品，观察这里的每一个大的图形周长是多少？ 追问：这些大的图形中哪个图形的面积最大呀！ 总结：这样联系起来观察，原来靠一堵墙围成的面积最大的长方形，其实是用它2倍的长度围成一个大正方形的一半，因为正方形的面积是最大的，所以它一半的面积也是最大的。也就是长是宽的2倍时面积最大。由此看来这两条结论自相矛盾吗？ 既然不矛盾，那我们就进一步观察靠一堵墙围，围成的面积最大的长方形的长和宽与周长之间有什么关系，有规律吗？

三、及时运用、提升思维

出示：如果用20根这样的木条靠一堵墙来围，围成的图形长多少？宽多少？24根呢？36根呢？

小结：看的出来，同学们很快就能运用规律来思考靠一堵墙围图形的问题了。

四、转换类型，完善规律

出示：体育课上，老师想用一根12米长的绳子，围一个面积尽可能大的图形做游戏，你打算怎样围？同桌交流一下想法。

小结：我们发现如果条件允许，围成圆形面积最大。

动画演示在周长不变的条件下，围成正多边形的边数越多直到变成圆时的面积变化过程。

说明：当周长一定时，围成的正多边形的边数越多，面积越大，最后围成一个圆形面积最大。

提问：结合前面的发现请你推想一下，靠一堵墙围成什么形状面积最大呢？

过渡：通过刚才探究，我们沟通了不靠墙和靠一堵墙围面积最大图形的方法。如果靠两堵互相垂直的墙任意围一个面积最大的图形，你猜会一个什么图形？

说明：我们可以用计算面积的方法来验证；也可以借助镜子的灵感想一想。

五、总结延伸

回顾这节课的探究过程，我们通过一一列举的策略，沟通联系了不靠墙与靠墙围之间的内在联系，又利用发现推想出来靠两堵互相垂直的墙的围法，你们可能不知道这个伟大的数学发现可是许多数学家们经历了很长的时间才发现哦！

出示：等周定理

等周定理：等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；虽然圆看似是问题的表面答案，但证明这个事实其实非常不易。首个接近答案的证明出现在1838年——雅各·史坦纳以几何方法证明若答案存在，答案必然是圆形。不久之后他的证明被其他数学家完善：圆，是完全“凸的”并“对称的”形状。直到1901年，赫尔维茨凭傅里叶级数和格林定理给出一个严格的证明。2012年，我国科学家潘忆思利用不等式给出了一个十分简单初等证明。看来一个伟大的发现要经过多少人的不懈努力呀！如果你也时刻抱有一种怀疑和探求的态度，也许将来“哥德巴赫猜想”、“四色猜想”、“孪生素数猜想”等等伟大的数学猜想就会被我们所证明。

六、课外拓展【2分钟】

大胆猜测，如果平面图形的面积一定时，围成怎样的形状周长最短。 如果立体图形的表面积一定时，怎样的立体图形体积最大。 提示：可以上网查阅资料验证猜想。