7.4 平行线的判定优秀教学设计

平行线的判定定理

教学设计

教学设计思想

对于一起探究先让学生交流分析思路和证题过程，再与教科书给出的思路和证明方法进行比较，最后形成统一认识，完善证明过程，对于“做一做”中的问题，学生独立完成，教师点拨、引导，获得平行线判定定理二的证明。

教学目标

知识与技能

能根据平行线的判定公理证明平行线的两个判定定理，并能简单应用这个两个判定定理；

概述证明的步骤、格式和方法；

感受几何中推理论证的严谨性，初步发展演绎推理能力。

过程与方法

经历探究证明定理的思路和证题过程，合作交流，进一步理解证明的步骤、格式和方法。

情感态度价值观

通过对知识形成过程进行反思，获得发现问题、解决问题的经验，发展数学问题意识和创新意识；

在探索的过程中学会与他人合作，并深深体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

教学重点和难点

重点是判定定理的得出及其应用；

难点是定理证明的思考方法以及书写方法。

教学方法

启发引导、尝试研讨；

课时安排

1课时

教具学具准备

投影仪或电脑、直尺、三角板、幻灯片

教学过程设计

我们已经探究出“同位角相等，两直线平行”，这就是平行线的判定公理。根据这条公理，我们可以证明下面的定理。

平行线的判定定理一 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简记为：内错角相等，两直线平行）。

（一）一起探究

1.指出这个定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知和求证。

2.将定理的条件和结论与平行线判定公理的条件和结论比较，两个条件和两个结论各有

什么相同和不同之处?定理和公理的条件之间有什么联系? 3.说说你的证明思路，试着写出证明过程。

请阅读下面的证明思路与证明过程，并和自己的思路与证法进行比较。

已知：如下图；直线AB，CD被直线EF所截，∠1和∠2是内错角，并且∠l＝∠2。

求证：AB∥CD。（见幻灯片）

分析：要想从内错角相等推出两直线平行，可先由内错角相等推出同位角相等，进而利用平行线判定公理得出两直线平行。事实上，根据对顶角相等和等量代换，容易从内错角相等得到同位角相等。

证明：∵∠1＝∠2(已知)，

∠1＝∠3(对顶角相等)，

∴∠2=∠3(等量代换)。

∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。

让学生尝试探究证明定理的思路，进一步理解证明的步骤、格式和方法。

1.略。

2.定理和公理的条件不同，但结论相同。通过“对顶角相等”可以将定理的条件转化为公理的条件。

（二）做一做

1.请填写下面证明过程的依据。

已知：如下图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1和∠2是同旁内角，并且∠1＋∠2＝180°。

求证：AB∥CD。（见幻灯片）

证明：∵∠1+∠2＝180° ( )，

∠2＋∠3＝180° ( )，

∴∠1＝180°－∠2 ( )，

∠3=180°－∠2 ( )。

∴∠l＝∠3 ( )。

∴AB∥CD ( )。

熟悉证明的格式，进一步体会推理的严谨性，并得到平行线的判定定理二。

2.请你试着再用其他方法证明上述命题。

由此，我们得到：

平行线的判定定理二 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(简记为：同旁内角互补，两直线平行)。

（三）练习

1.请你说明图中用直尺和平移三角尺画出的两条直线L1和L2平行的理由。

2.已知：如图，a⊥c,b⊥c。求证：a∥b。

请你根据括号中推证的根据，在横线处填上推证的过程。

∵a⊥c（已知）

∴∠1=90°（垂直的定义）。

∵b⊥c（已知）

∴__________________(垂直的定义)。

∴__________________（等量代换）。

∴__________________（同位角相等，两直线平行）。

3.请你用其它方法证明第2题的结论。

（四）小结

引导学生总结本节的知识点。

（五）板书设计

平行线的判定定理

平行线的判定定理一

一起探究

做一做

平行线的判定定理二

练习

平行线的判定定理

习题精选（一）

1．平行线的判定定理一：__________________________。

2．平行线的判定定理二：__________________________。

3．填空。

如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知）

∴∠CAB＝90°，∠______＝90°（

）

∴∠CAB＝∠______（

）

∵∠CAE＝∠DBF（已知）

∴∠BAE＝∠______ ∴_____∥_____（

）

4．已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。

∵∠1＋∠2＝180°（

）

又∠2＝∠3（

）

∴∠1＋∠3＝180°

∴_________（

）

5．如图，填空。

（1）∠A与_________互补，则AB∥_______（

）

（2）∠A与_________互补，则AD∥_______（

）

6．下列命题中，不正确的是（

）

A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行

B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么两直线必平行。

D．两条直线被第三条直线所截，如果两直线不平行，那么内错角必不相等。

7．如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（

）

A．①③

B．②④

C．①③④

D．①②③④

8．已知：如图，∠1＝∠A，∠2＝∠C，求证：AB∥CD。

9．如图，已知：∠1＋∠2＝180°，求证：AB∥CD。

10．如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，求证：CD∥BE。

11．如图，已知：∠A＝∠1，∠C＝∠2。求证：求证：AB∥CD。

12．如图，已知：∠1＝∠C＋∠E。求证：AC∥BD。

13．已知：如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3。求证：BE∥DF。

14．已知：如图：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH平分∠AHM，MN平分∠DMH。

求证：GH∥MN。

答案

1．内错角相等，两直线平行

2．同旁内角互补，两直线平行

3．略

4．略

5．（1）∠D

CD

同旁内角互补两直线平行

（2）∠B

BC

同旁内角互补，两直线平行

6．C

7．D 8．∵∠1＝∠A，∠2＝∠C，又∠1＝∠2（对顶角相等），∴∠A＝∠C（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。

9．∵∠2＋∠ABC＝180°（平角的定义），∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠ABC（同角的补角相等）。∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

10．∵∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，∴∠BEF＝∠CDE（同角的补角相等）。∴CD∥BE（同位角相等，两直线平行）。

11．∵∠A＝∠1，∴AB∥QP ∵∠C＝∠2 ∴QP∥CD ∴AB∥CD 12．∵∠EFA＝∠C＋∠E（三角形一个外角等于两个不相邻的内角和）且∠1＝∠C＋∠E，∴∠1＝∠EFA（等量代换）

∴AC∥BD 13．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，∴∠1＋∠3＝90°（等量代换），又∵AB⊥BC，

∴∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4（同角的余角相等）。∴BE∥DF。

14．∵∠EMD＋∠FMD＝180°（平角的定义），∠AHF＋∠FMD＝180°，

1∴∠EMD＝∠AHF，∵GH、MN分别平分∠AHM、∠DMH，∴∠EMN＝2∠EMD＝12∠AHF＝∠GHF。即∠EMN＝∠GHF。∴GH∥MN。

平行线的判定定理 习题精选（二）

一、基础识记题

1．已知AB∥CD，EF∥GH，若由此得出CD∥GJ，AB和EF应满足的关系是（）

A．在同一平面内

B．不相交

C．平行

D．不在同一平面内

2．同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a和c的关系是（）

A．a⊥c B．a∥c

C．a和c相交

D．不能确定

3．如图24－7，若∠1＝∠2，则在结论；（1）∠3＝∠4，（2）AB∥CD，（3）AD∥BC中（）

A．三个都正确

B．只有一个正确

C．三个都不正确

D．只有一个不正确

二、单项方法题

4．如图24－8，已知；AB＝AC，BC平分∠ABD。求证AB∥BD。

三、综合方法题

5．如图24－9，已知∠B+∠D＝∠C，求证AB∥ED。

6．如图24－10，已知；AE平分∠ABD，DE平分∠BDE，并且BE⊥DE。求证；AB∥CD

四、新中考比照题

7．如图24－11，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件；

（1）∠1＝∠2 （2）∠3＝∠6 （3）∠4+∠7＝180°；

（4）∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是（）

A．（1）（3）

B．（2）（4）

C．（1）（3）（4）

D．（1）（2）（3）（4）

答案

1．C 2．B 3．B 4．证明；∵AB＝AC（已知）∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵BC平分∠ABD（已知），∴∠ABC＝∠CBD（角平分线的定义），∴∠C＝∠CBD（等量代换），∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）

5．证明；如答图18，过C作身线EF使∠BCF＝∠B，∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行），∵∠BCD＝∠BCF+∠FCD（角和差的定义），∴∠BCD＝∠B+∠FCD（等量代换），又∵∠BCD＝∠B+∠D（已知），∴∠FCD＝∠D（等式的性质），∴CF∥ED（内错角相等，两直线平行），∴AB∥ED（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

126．证明；如答图19所示，∵EB平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知）∴1ABD2，

1BDC2（角平分线定义），∵BE⊥DE（已知），∴∠2+∠4＝90°（直角三角形11124ABDBDC(ABDBDC)222两锐角互余），又（等式的性质），34∴∠ABD+∠BDC＝2（∠2+∠4）＝2×90°＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

7．D

平行线的判定定理

习题精选（三）

一、选择题

1.下列命题中，不正确的是(

) A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

C.两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行

D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

2.如图1，可以得到DE∥BC的条件是(

)

图1 A.∠ACB=∠BAC

B.∠ABC+∠BAE=180°

C.∠ACB+∠BAD=180°

D.∠ACB=∠BAD

3.如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:

图2

(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，

其中能判定a∥b的条件是(

) A.(1)(3)

C.(1)(3)(4)

B.(2)(4) D.(1)(2)(3)(4) 4.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(

) A.第一次向右拐40°，第二次向左拐40°

B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

5.如图3，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是(

)

图3 A.AD∥BC C.∠3=∠4 二、填空题

6.如图4，∠1=∠2=∠3，则直线l1、l2、l3的关系是________.

B.AB∥CD

D.∠A=∠C

图4 7.如图5，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据.

图5

(1)∠1=∠2，________________________. (2)∠A=∠3，________________________. (3)∠ABC+∠C=180°，________________________. 8.如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________. 9.同垂直于一条直线的两条直线________. 10.如图6，直线EF分别交AB、CD于G、H.∠1=60°，∠2=120°，那么直线AB与CD的关系是________，理由是：___________________________________________________.

图6 三、解答题

11.已知：如图7，∠1=∠2，且BD平分∠ABC.

图7 求证：AB∥CD. 12.已知：如图8，AD是一条直线，∠1=65°，∠2=115°.求证：BE∥CF.

图8 13.已知：如图9，∠1=∠2，∠3=100°，∠B=80°.求证：EF∥CD.

图9 14.已知：如图10，FA⊥AC，EB⊥AC，垂足分别为A、B，且∠BED+∠D=180°. 求证：AF∥CD.

图10

参考答案

一、1.C

2.B

3.D

4.A

5.B 二、6.l1∥l2∥l3

7.(1)AD∥BC内错角相等，两直线平行

(2)AD∥BC同位角相等，两直线平行

(3)AB∥DC同旁内角互补，两直线平行

8.平行

9.平行

10.平行∵∠EHD=180°－∠2=180°－120°=60°，∠1=60°，∴∠1=∠EHD，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 三、11.略

12.略

13.略

14.略

平行线的判定定理

习题精选（四）

一、看图填空

如图6—3—1，根据图形及上下文的含义推理并填空：

图6—3—1 （1）∵∠A=_______（已知）

∴AC∥ED（

）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴AC∥ED（

）

（3）∵∠A+_______=180°（已知）

∴AB∥FD（

）

二、请你填一填

（1）如图6—3—2，已知直线a、b，任意画一条直线c,使它与a、b都相交，量得∠1= 46°，∠2=46°,那么a与b的关系是____________，其根据是_____________.

图6—3—2

图6—3—3

图6—3—4 （2）如图6—3—3，直线AB、CD被直线EF所截

①量得∠3=100°，∠4=100°,则AB与CD的关系是_______，根据是______. ②量得∠1=80°,∠3=100°,则AB与CD的关系是_______，根据是_________. （3）如图6—3—4,BE是AB的延长线，量得∠CBE=∠A=∠C

①从∠CBE=∠A，可以判定直线_______与直线_______平行，它的根据是___________. ②从∠CBE=∠C，可以判定直线_______和直线_______平行，它的根据是______________________________. 三、回答下列问题数学眼光看世界

（1）如图6—3—5，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗？为什么？

（2）如图6—3—6木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？

图6—3—5

参考答案

一、（1）∠BED

同位角相等，两直线平行

（2）∠DFC

内错角相等，两直线平行

（3）∠AFD

同旁内角互补，两直线平行

二、依次为：

（1）平行

同位角相等，两直线平行

（2）①平行

内错角相等，两直线平行

②平行

同旁内角互补，两直线平行

（3）①AD

BC

同位角相等，两直线平行

②AB

DC

内错角相等，两直线平行

三、（1）AB∥CD

因为同旁内角互补，两直线平行（2）平行

因为垂直于同一条直线的两直线平行

图6—3—6