完全平方公式的运用教学教案设计

11.3 公式法--完全平方

一、教学目标

（一）知识与技能

1．使学生会用完全平方公式分解因式．

2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式．

（二）过程与方法

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力．

（三）情感、态度与价值观

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．

二、

●教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．

●教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．

●教学方法

观察—发现—运用法

三、教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学***方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学***方公式分解因式．

Ⅱ．新课

1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．

［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以．

将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2；

a2－2ab+b2=（a－b）2．

便得到用完全平方公式分解因式的公式．

［师］很好．那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点．

［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．

［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．

右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．

用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式．

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4；

（2）x2+4x+4y2；

（3）4a2+2ab+b2；

41（4）a2－ab+b2；

（5）x2－6x－9；

（6）a2+a+0．25．

［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍．

［生］（1）是．

（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是．ab不是a与b乘积的2倍．

（5）不是，x2与－9的符号不统一．

（6）是．

2．例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49；

（2）（m+n）2－6（m +n）+9．

［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．

解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2．

［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2；

（2）－x2－4y2+4xy．

［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．

如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．

解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

（2）－x2－4y2+4xy

=－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］

=－（x－2y）2

Ⅲ．课堂练习

a．随堂练习

1．解：（1）是完全平方式

x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2

42221111（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求．

（3）是完全平方式

14m2+3 m n+9n2

11=（

m）2＋2×

m×3n+（3n）2

22=（

m +3n）2

21（4）不是完全平方式

2．解：（1）x2－12xy+36y2

=x2－2·x·6y+（6y）2

=（x－6y）2；

（2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2xy－x2－y2

=－（x2+2xy+y2）

=－（x+y）2；

（4）4－12（x－y）+9（x－y）2

=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2

=［2－3（x－y）］2

=（2－3x+3y）2

b．补充练习

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2；

（2）a2b2+8abc+16c2；

（3）（x+y）2+6（x+y）+9；

（4）m2－mn6144+n2；

（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9；

（6）xy－x－5124y2100

解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－2·2a·b+b2=（2a－b）2；

（2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2·ab·4c+（4c）2=（ab+4c）2；

（3）（x+y）2+6（x+y）+9 =（x+y+3）2；

（4）m2－mn6144+n2=（m12）2－2×m12×n+n2=（m12－n）2；

（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9 =［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32

=［2（2a+b）－3］2

=（4a+2b－3）2；

（6）xy－x－5124y22100y

）

y10=－（x－xy+5412100=－［（x2）2－2·x2·=－（x2－y10+（y10）2］

）2

四、教学总结

这节课我们学***方公式分解因式．它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项．

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．

同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．

课后作业

课本练习．

活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式．

分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解．

参考答案：

4a3b－4a2b2+ab3

=ab（4a2－4ab+b2）

=ab（2a－b）2

●板书设计

运用公式法（二）

一、1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

2．例题讲解

例1、例2 二、课堂练习

a．随堂练习

b．补充练习

三、课时小结

四、课后作业

练习

把下列各式分解因式

1．－4xy－4x2－y2；

2．3ab2+6a2b+3a3；

3．（s+t）2－10（s+t）+25；

4．0．25a2b2－abc+c2；

5．x2y－6xy+9y；

6．2x3y2－16x2y+32x；

7．16x5+8x3y2+xy4

参考答案：

解：1．－4xy－4x2－y2

=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2；

2．3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2；

3．（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2；

4．0．25a2b2－abc+c2=（0．5ab－c）2；

5．x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2；

6．2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2；

7．16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2．