两个位似图形坐标之间的关系全国优秀课堂实录

第二十七章

相似

27.1

图形的相似

第1课时

相似图形

一

教学目标

1.通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形. 2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力. 3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.

二

预习反馈

阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似.并完成下列预习内容. ①把形状相同的图形叫做相似图形. ②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？

相似. ④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？

不相似. ⑤全等三角形相似吗？

相似. ⑥生活中哪些地方会见到相似图形？

答案不唯一. 【点拨】

研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.

三

讲授新课

例1

下列各图中哪组图形是相似图形(C)

A

B

C

D 【点拨】

观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形. 【跟踪训练1】

下列图形中，不是相似图形的是(C)

A

B

C

D 【跟踪训练2】

(教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？

解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似.

四

巩固训练

1.如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)

A

B

C

D 2.下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有(C) A.4组

B.3组

C.2组

D.1组

五

课堂小结

1.本节课学习了哪些主要内容？

2.全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？

第2课时

相似多边形与比例线段

一

教学目标

1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题. 2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.

二

预习反馈

阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：

ac①对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如＝(即ad＝bc)，那么我们就说这四bd条线段是成比例. ②相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等. ④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B) A.角A是原来的5倍

B.周长是原来的5倍

C.每一个内角都发生了变化

D.以上说法都不对

三

讲授新课

例1

下列图形中，不一定相似的是(D) A.任意两个等腰直角三角形

B.任意两个等边三角形

C.任意两个正方形

D.任意两个菱形

【跟踪训练1】

(《名校课堂》27.1习题)下列四组图形中，一定相似的是(D) A.正方形与矩形

B.正方形与菱形

C.菱形与菱形

D.正五边形与正五边形

例2

(教材P26例)如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.

【解答】

因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得，

α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. 在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. 因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EHEFx24＝，即＝. ADAB2118解得x＝28. 【点拨】

相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字. 【跟踪训练2】

(《名校课堂》27.1习题)(教材P28T5的变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.4，AC＝4.2. ADAEDE(1)求，，的值；

ABACBC(2)求证：△ADE与△ABC相似.

AD1.51解：(1)＝＝，

AB4.53AE1.41＝＝，

AC4.23DE31＝＝. BC93(2)证明：∵DE∥BC，

∴∠D＝∠B，∠E＝∠C. ADAEDE又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，

ABACBC∴△ADE与△ABC相似.

例3

已知A，B两地的实际距离AB＝5 km，画在地图上的距离CD＝2 cm，则这张地图的比例尺是1∶250__000. 【点拨】

图上距离与实际距离的比叫做比例尺. 【跟踪训练3】

(教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离. 解：设两地的实际距离为x. 301＝.解得x＝300 000 000. x10 000 000∵300 000 000 cm＝3 000 km. ∴两地的实际距离为3 000 km.

四

巩固训练

1.下列各组线段中，成比例线段的是(B) A.1，2，3，4

B.1，2，2，4 C.3，5，9，13

D.1，2，2，3 2.下列各组图形中，必定相似的是(D) A.两个等腰三角形

B.各有一个角是40°的两个等腰三角形

C.两条边之比都是2∶3的两个直角三角形

D.有一个角是100°的两个等腰三角形

3.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm变成了4 cm，那么这次复印的放缩比例为4∶1. 4.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为2. 5.已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是23. 6.在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？

abcd8解：设1，2，3，4对应边长为a，b，c，d，根据相似多边形对应边的比相等，则有＝＝＝＝，

123458162432解得a＝，b＝，c＝，d＝. 55558162432所以另一个五边形的周长为：a＋b＋c＋d＋8＝＋＋＋＋8＝24. 5555

五

课堂小结

1.本节课学习了哪些内容？

2.如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？

27.2

相似三角形

27.2.1

相似三角形的判定

第1课时

平行线分线段成比例

一

教学目标

1.理解相似三角形的概念. 2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论. 3.掌握判定三角形相似的预备定理.

二

预习反馈

阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理.并完成下面的预习内容. 1①如果△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k，那么△A1B1C1∽△ABC的相似比为. kAB（DE）②如图，l1，l2分别被l3，l4，l5所截，且l3∥l4∥l5，则AB与DE对应，BC与EF对应，DF与AC对应；＝，BC（EF）（DE）AB（BC）（AC）AB＝，＝＝. DFDE（EF）（DF）（AC）

③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【点拨】

找准对应线段是关键.

三

讲授新课

例1

(教材补充例题)如图，DE∥BC，则下面比例式不成立的是(B)

ADAEDEECADAEBCACA.＝

B.＝

C.＝

D.＝

ABACBCACDBECDEAE【跟踪训练1】

如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)

ADBCBCDFCDBCCDADA.＝

B.＝

C.＝

D.＝

DFCECEADEFBEEFAF

例2

(教材补充例题)如图，ED∥BC，EC，BD相交于点A，过A的直线交ED，BC分别于点M，N，则图中有相似三角形(C)

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对

【跟踪训练2】

(《名校课堂》27.2.1第1课时习题)如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？

解：共有3对相似三角形，分别是：

△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.

四

巩固训练

1.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(C)

A.28°

B.32°

C.42°

D.52°

2.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE，BA交于点F，下列等式成立的是(C)

AECEAECDAEFAAEFEA.＝

B.＝

C.＝

D.＝

EDEFEDAFEDABEDFC3.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，AD＝3，求BD的长.

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC. ∴ADDE32＝，即＝. ABBCAB6∴AB＝9. ∴BD＝AB－AD＝9－3＝6.

五

课堂小结

1.本节课我们学习了哪些内容？

2.当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？

第2课时

相似三角形的判定定理1，2

一

教学目标

掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.

二

预习反馈

阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容. ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似. ②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. ③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答. 判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.

ACABBC甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以他们不相似. IJHJHI乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似. 解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确. 【点拨】

判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.

三

讲授新课

例1

(教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，

A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm. AB41【解答】

∵＝＝，

A′B′123BC61＝＝，

B′C′183AC81＝＝，

A′C′243∴ABBCAC＝＝. A′B′B′C′A′C′

∴△ABC∽△A′B′C′.

【跟踪训练1】

(《名校课堂》27.2.1第2课时习题)如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20，在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.

解：相似. AC205AB255BC405理由：∵＝＝，＝＝，＝＝，

AE123AD153DE243∴ACABBC＝＝. AEADDE∴△ABC∽△ADE. 例2

(教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，

∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm. AB7AC147【解答】

∵＝，＝＝，

A′B′3A′C′63∴ABAC＝. A′B′A′C′又∠A＝∠A′，

∴△ABC∽△A′B′C′.

【跟踪训练2】

如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形. (1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；

(2)求∠1＋∠2的度数.

解：(1)相似.理由：设正方形的边长为a，则AC＝a2＋a2＝2a，

AC2aCG2a∵＝＝2，＝＝2，

CFaAC2a∴ACCG＝. CFAC又∵∠ACF＝∠GCA，

∴△ACF∽△GCA. (2)∵△ACF∽△GCA，

∴∠1＝∠CAF. ∵∠CAF＋∠2＝45°，

∴∠1＋∠2＝45°.

四

巩固训练

1.在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，CA＝5 cm，A′B′＝4.5 cm，B′C′＝2.5 cm，C′A′＝4 cm，则下列说法错误的是(D) A.△ABC与△A′B′C′相似

B.AB与B′A′是对应边

C.两个三角形的相似比是2∶1 D.BC与B′C′是对应边

2.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC∽△A′B′C′，还应增加的条件是(C) A.AC＝A′C′

B.∠A＝∠A′

C.∠B＝∠B′

D.∠C＝∠C′

3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.

4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例. 5.如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，若AE＝2 cm，AC＝3 cm，AD＝2.4 cm，AB＝3.6 cm，

4DE＝cm，则BC的长为多少？

3

解：∵AE＝2 cm，AC＝3 cm，AD＝2.4 cm，AB＝3.6 cm，

∴AEAD2＝＝. ACAB3∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC. ∴DEAE＝. BCAC4又∵DE＝

cm，

3432∴＝. BC3∴BC＝2 cm. 【点拨】

运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算.

五

课堂小结

1.本节课我们学习了什么内容？

2.全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？

第3课时

相似三角形的判定定理3

一

教学目标

1.掌握相似三角形的判定定理3. 2.了解两个直角三角形相似的判定方法. 3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.

二

预习反馈

阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.完成下列预习内容. ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. ③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.

④如图所示，已知∠ADE＝∠B，则△AED∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？

解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等.再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似. 【点拨】

要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似.

三

讲授新课

例1

(教材P35例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.

【解答】

∵ED⊥AB，

∴∠EDA＝90°. 又∠C＝90°，∠A＝∠A，

∴△AED∽△ABC. ∴ADAE＝. ACABAC·AE8×5∴AD＝＝＝4. AB10

【跟踪训练1】

如图，∠1＝∠3，∠B＝∠D，AB＝DE＝5，BC＝4. (1)△ABC∽△ADE吗？说明理由；

(2)求AD的长.

解：(1)△ABC∽△ADE.理由如下：

∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，

∴∠BAC＝∠DAE. 又∵∠B＝∠D，

∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)，知∴54＝. AD5ABBC＝. ADDE25解得AD＝. 4

例2

(教材补充例题) 已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

【解答】

∵∠ABC＝∠CDB＝90°，

(1)当BCAB＝时，△ABC∽△CDB，

BDCDBCABACab此时＝＝，即＝. BDCDBCbBDb2∴BD＝. ab2即当BD＝时，△ABC∽△CDB. aABBC(2)当＝时，△ABC∽△BDC，

BDCDABBCACABAC此时＝＝，即＝. BDCDBCBDBCa2－b2ab∴＝，BD＝a2－b2. BDbab∴当BD＝a2－b2时，△ABC∽△BDC. ab2b综上所述，即当BD＝或BD＝a2－b2时，这两个三角形相似. aa【点拨】

本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况. 【跟踪训练2】

(《名校课堂》27.2.1第3课时习题)在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) ABACA.∠B＝∠B1

B.＝

A1B1A1C1ABBCABACC.＝

D.＝

A1B1B1C1B1C1A1C1

四

巩固训练

1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A.都含有一个40°的内角

B.都含有一个50°的内角

C.都含有一个60°的内角

D.都含有一个70°的内角

ABBCBCAC2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)＝；(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任A′B′B′C′B′C′A′C′取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C) A.1组

B.2组

C.3组

D.4组

3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.

证明：∵ED⊥AB，

∴∠EDB＝90°. ∵∠C＝90°，

∴∠EDB＝∠C. ∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△EBD. 4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.

证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠ABC，

∴△ABC∽△BCD.

五

课堂小结

1.本节课我们学习了什么内容？

2.全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？

27.2.2

相似三角形的性质

一

教学目标

理解并掌握相似三角形的性质.

二

预习反馈

阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容. (1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. (2)如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′.

①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？

【解答】

其他的相似三角形还有△ABD∽△A′B′D′，△ADC∽△A′D′C′.

C△ABCS△ABC②△ABC与△A′B′C′中，＝k，＝k2. C△A′B′C′S△A′B′C′

【点拨】

在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.

三

讲授新课

例

(教材P38例3)如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为125，求△DEF的边EF上的高和面积.

【解答】

在△ABC和△DEF中，

∵AB＝2DE，AC＝2DF，

∴DEDF1＝＝. ABAC2又∠D＝∠A，

1∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为. 2∵△ABC的边BC上的高为6，面积为125，

1∴△DEF的边EF上的高为×6＝3，

21面积为()2×125＝35. 2【跟踪训练】

如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积为10，则▱ABCD的面积为多少？

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CE.

S△DEFDE2DEDE21S△DEFDE2DE2DE21＝()＝()2＝()＝，＝()＝()＝()＝. 3DE9S△ABFABCD2DE4S△CEBCECD＋DE

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∴∴S△CEB＝90，S△ABF＝40. ∴S▱ABCD＝S△ABF＋S四边形BCDF＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝40＋90－10＝120.

四

巩固训练

1.若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C) A.2∶1

B.1∶2 C.1∶4

D.1∶5 2.如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)

A.3∶4

B.9∶16 C.9∶1

D.3∶1 3.如果△ABC∽△DEF，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D) A.BC∶DE＝1∶2 B.△ABC的面积∶△DEF的面积＝1∶2 C.∠A的度数∶∠D的度数＝1∶2 D.△ABC的周长∶△DEF的周长＝1∶2 4.如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3. 35.已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且2BE＝6，则B1E1＝4. 6.如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm. (1)求CM和EN的长；

CM(2)你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？

NE

解：(1)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋CB2＝92＋122＝15，

∵CM是斜边AB的中线，

1∴CM＝AB＝7.5. 2∵Rt△ABC∽Rt△DFE，

∴DEDF31DF＝，即＝＝. ACAB9315

∴DF＝5. ∵EN为斜边DF上的中线，

1∴EN＝DF＝2.5. 2

CM7.53AC93(2)∵＝＝，相似比为＝＝，

EN2.51DE31∴相似三角形对应中线的比等于相似比.

五

课堂小结

本节课我们学习了哪些内容？

27.2.3

相似三角形应用举例

一

教学目标

1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识. 2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.

二

预习反馈

阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容. (1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比). (2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？

答：相似.

三

讲授新课

例1

(教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.

【解答】

∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，

∴△PQR∽△PST. ∴即PQQR＝，

PSSTPQQRPQ60＝，＝，

PQ＋QSSTPQ＋4590PQ×90＝(PQ＋45)×60. 解得PQ＝90 m. 答：河宽大约为90 m. 【跟踪训练1】

(《名校课堂》27.2.3习题)(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离.

解：连接MN. ∵AC303AB543ACAB＝＝，＝＝，∴＝. AM1 000100AN1 800100AMAN又∵∠BAC＝∠NAM，

∴△BAC∽△NAM. ∴BC3453＝，即＝.∴MN＝1 500. MN100MN100答：M，N两点之间的直线距离为1 500米.

例2

小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)

【解答】

根据反射角等于入射角，则有∠DEF＝∠BEF，而FE⊥AC，

∴∠DEC＝∠BEA. 又∵∠DCE＝∠BAE＝90°，

∴△DEC∽△BEA. ∴CDEC＝. ABEA1.62.5＝. AB21又∵DC＝1.6，EC＝2.5，EA＝21，

∴∴AB＝13.44. 答：建筑物AB的高度为13.44 m. 【点拨】

从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键. 【跟踪训练2】

如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度.

解：由题意可得，△DEF∽△DCA，则DEEF＝，

DCAC∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5米，DC＝20米，

∴0.50.25＝. 20AC解得AC＝10. 故AB＝AC＋BC＝AC＋DG＝10＋1.5＝11.5(米).

答：旗杆的高度为11.5米.

四

巩固训练

1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置，则球拍击球时的高度h为2.4m.

2.如图，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求河宽.

解：由题意，可得∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，

∴△ADB∽△EDC. ∴ABBD＝，

ECCDBD·EC120×50即AB＝＝＝100(m). CD60答：河宽AB为100 m. 【点拨】

证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种. 3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？

解：过点A作CN的平行线交BD于点E，交MN于点F. 由已知可得，FN＝ED＝AC＝0.8 m，AE＝CD＝1.25 m，EF＝DN＝30 m，BD＝1.6 m，

∠AEB＝∠AFM＝90°. 又∵∠BAE＝∠MAF，

∴△ABE∽△AMF. ∴即BEAE＝，

MFAF1.6－0.81.25＝. MF1.25＋30解得MF＝20. ∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m). 答：住宅楼的高度为20.8 m.

五

课堂小结

利用相似三角形进行测量的一般步骤：

(1)因地制宜，构造相似三角形；

(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；

(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.

27.3

位似

第1课时

位似图形的概念及画法

一

教学目标

1.正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心. 2.在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情.

二

预习反馈

阅读教材P47～48，完成下列预习内容. (1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (2)下列说法正确的是(D) A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等

B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似

C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似

D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似

(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D) A.原图形的外部

B.原图形的内部

C.原图形的边上

D.任意位置

【点拨】

位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质.

三

讲授新课

例1

如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.

【解答】

1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；

2.作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；

3.在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；

4.顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.

所得到的图形就是符合要求的图形.

【点拨】

作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线.注意：不要连错对应点之间的连线. 【跟踪训练1】

(《名校课堂》27.3习题)如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.

解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形. 例2

请画出如图所示两个图形的位似中心.

图1

图2 【解答】

如图所示的点O1，就是图1的位似中心. 如图所示的点O2，就是图2的位似中心. 【点拨】

正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心. 【跟踪训练2】

找出下列图形的位似中心.

四

巩固训练

1.在下列图形中，不是位似图形的是(D)

A

B

C

D 2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)

A.1∶3

B.1∶2 C.1∶3

D.1∶9 3.如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2.

4.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比.

解：连接AD，CF交于点O，

则点O即为所求. ∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，

∴OC∶OF＝3∶2. ∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.

5.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上. (1)找出位似中心点O；

(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为2∶1；

(3)按(2)中的位似比，以点O为位似中心画出△ABC的另一个位似图形△A″B″C″.

解：(1)如图所示，点O即为所求. (2)∵AC2＝，

A′C′1∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：2∶1. 故答案为：2∶1. (3)如图所示，△A″B″C″即为所求.

五

课堂小结

1.本节课我们学习了哪些内容？

2.位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？

3.利用位似作图的步骤有哪些？

第2课时

平面直角坐标系中的位似

一

教学目标

1.让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形. 2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用.

二

预习反馈

阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容. 1(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，3观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

1答：线段缩小后，点A，B的坐标与其对应点的坐标的比为. 3

(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为k. 1(3)△ABC和△A1B1C1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A1(6，－8)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是. 2(4)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1(2，4)，B1(2，0)，C1(6，6).

三

讲授新课

例

(教材P49例)如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O为位似中心，画3出一个三角形，使它与△ABO的相似比为. 2

【解答】

如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).顺次连接点A′，B′，O，所得△A′B′O就是要画的一个图形. 【点拨】

作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标.然后在坐标中描出对应点，连线即可. 【跟踪训练】

在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3). (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)以点M为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.

解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求. (2)如图所示，△A2B2C2即为所求.

四

巩固训练

11.某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的，连接各点所得图形与原图形相比(C) 2A.完全没有变化

B.扩大成原来的2倍

1C.面积缩小为原来的

D.关于纵轴成轴对称

42.如图所示的△ABC，以A点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标.

解：根据题意，图中的△AB1C1就是满足题意的三角形，其中A点的坐标不变，仍是(－3，－1)，B1，C1的坐标分别为(3，－3)，(1，3).

五

课堂小结

1.本节课学习了什么内容？

2.想一想位似作图与平移作图、轴对称作图、旋转作图有什么共同点？