复习参考题课堂实录

二元参数单约束条件下的最值问题

惠州市第一中学

钟时泉

☆课题分析

最值问题是数学永恒的话题，也是历年高考的热门考点。而在最值求解中，尤以多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变而具有挑战性。

☆教学目标：

1.理

解“多元”问题化为“一元”或“二元”问题的思想，掌握代入、换元（整体、三角）等几种具体消元方法；

2.在掌握数学知识的过程中学会思考，在问题探究过程中增强解决问题的能力、发展提升数学思维能力．

☆教学重点：多元问题的解决策略的形成和发展．

☆教学难点：“多元”问题如何转化为“一元”或“二元”问题

☆学习目标 通过不等式、方程、函数、几何、三角等不同视角来探究并总结多元函数最

值的求解策略。

☆授课过程

设为实数，若

则的最大值为_____ 此题直接去做不好入手，难点是条件和结论联系不紧密，解决这类代数问题一般可以从代数变形和几何法等进行解决. 思路1：整体换元，将题设条件转化为一个一元二次方程，并在实数集上有解，利用判别式解决问题. 解法一：设则，将其代入得由题意知方程有解，所以

即，当时，

，故的最大值为

注

此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值，其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在.需要提醒的是在得到2t2时要注意检查等号成立的条件. 思路2：求最值从题设条件中有可以考虑用基本不等式，先对题设条件进行配方，配方后1

变形用基本不等式

解法二：因为，所以得即所以，当时，的最大值为

注

由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式xy的不等式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路. 思路3：条件中有平方，想到利用重要不等式求出解法三：因为，所以

的范围，再变形求解

，又因为，所以当时，的最大值为

思路4：1的代换，任何数除以1都等于它本身，而已知条件是项的次数为2次，所以所求平方后除以已知条件. 解法四：，当时，，所以，即，当时，，当时，，故的最大值为2

注

上解法运用齐次化方法，将目标函数化为一元分式函数，之所以能这样做，是因为约束条件左边是齐次式（二次），而目标函数也是齐次式（一次），根据次数关系再将目标函数平方为(xy)2求其最大值.一般地，如果约束条件与目标函数均为齐次式，可考虑这种方法.

思路5：已知条件中有问题

这项给我们制造了麻烦，我们通过代数变形，消掉，进而解决解法五：令，则，即

故所以当时，的最大值为. xys,注

由于条件中含有xy项，且x2项与y2项的系数相等，若我们作线性代换则xyt,可以化去变元的混合乘积项，使等式条件只含有变元的平方项，这样我们就能看清等式条件所表示的图形特征，以便于从几何角度求解. 思路6：配方后联想到三角函数中的平方关系

解法六：因为，

设

，

故

因为，所以，故的最大值为. 注

由于x2xyy21的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件. 3

思路七：配方后利用向量不等式求解

解法七：因为，所以设

则，

由得

当

时取等号，故的最大值为. 思路8：观察题设条件的结构特征，很容易想到表达式和余弦定理在形式上吻合，所以可以构造三角形，利用几何图形加以解决. 解法八：因为求的最大值，不妨设，看到条件想到余弦定理，可得ABC，

,如图构造三角形设,由正弦定理得

，因为，所以

，从而得，

，

所以

因为，所以，故的最大值为. 思路9：尽管构造了直观图形，但并未将图形的性质发挥到淋漓尽致，还是回到三角函数的老4

路上去了，有没更直观的方法呢？肯定存在的. 方法九：构造如图三角形，并延长线段至点，使则，由方法八知道即用正弦定理得,解得，从而，

所以三角形的外接圆的直径，所以点的轨迹为一段圆弧，即弦所对的优弧，所以

思路10：因为题设条件可以表述为平方和（差）的形式，可以用待定系数系数. 解法十:因为的形式，具备这种结构的代数式，可以写成来确定对应

，

故的最大值为

小结：

【方法技巧】

1、几何视角；2、三角视角（参数）等

【反思感悟】

二元一次方程的几何意义：线；二元二次的方程的几何意义：圆、圆锥曲线。

师生共同回顾本节课学习内容，总结解决多变量求最值问题的策略及所运用的数学思想方法．１．多元变量最值问题的解题图式：

5

2.

数学思想：转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想．

3.

消元方法：代入法、换元法（整体换元或三角换元） 6