阅读与思考 海伦和秦九韶教案2

《秦九韶－海伦公式》教案

【教学内容】人教版数学必修五《秦九韶－海伦公式》 【教学对象】高一学生 【教材分析】

本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，《高中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。

本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要意在引领学生运用所学知识对“秦九韶－海伦公式”进行证明，并进行有效的应用，让同学们从中体会到数学之美。 【学情分析】

高二学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。

【教学目标】 1、知识与技能：

（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；

（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：（

1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；

（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：

（1）体会到数学的简洁美；

（2）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】证明秦九韶－海伦公式的过程。 【教学难点、关键】秦九韶－海伦公式的本质。 【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】 一、回顾旧知 1、三角形面积公式。提问，让学生回答出已经学习过的公式。

11板书：S△＝2×a×ha＝2×ac×sinB＝p×r等

2、新课引入

我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定．若给出任意一个三角形三边长，你能求出它的面积吗？

思考并默读课本。

二、已知三边a，b，c，求三角形面积 利用已知三边具体值a=3,b=4,c=5.求三角形面积的方法,推导出已知三边a，b，c,求三角形面积的公式

。

在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。（PPT演示）

向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。

（

设计意图）：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令1p=2（a+b+c）。体会海伦公式简洁的魅力，并了解一些数学家的故事。 三、海伦公式的应用

海伦公式除了可以解决已知三角形三边长求面积的问题外，还有什么应用呢？ 例题：三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b.2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状.

先让学生们独立做题，最后由老师板书演示解得该三角形为直角三角形。 （设计意图）：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。 四、小结并归纳三角形面积公式

通过板书总结本堂课的内容 五、课后探究 习题：1、求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值；

2、老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式 （设计意图）：1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。 【板书设计】（略） 【创新之处】 1、本节对于程度较好的学生，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要，设计本节内容有利于学生日后的进步。 2、本节内容在众多教学设计中鲜有涉及，本文则详细介绍和证明海伦公式，严谨证明海伦公式作为授课思路。 3、本文学习后，本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。 4、海伦公式的应用方面，通过练习，让学生发现海伦公式更广阔的应用，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

5、课开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。

附：

课外品味数学文化－－海伦公式与秦九韶公式

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积为：..这一公式称为海伦公式；海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：.其实这两个公式实质是一致的，聪明的你能够推导出来吗？

对比这两个公式，我们发现海伦公式形式漂亮，便于记忆，但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶公式处理比较方便，现在请您选择适当的公式解决一些问题吧。

随县一中

金占魁