小结板书设计

大庆实验中学高效课堂教学模式探索系列活动——青年教师赛课教案

授课题目

授课教师

伊波

一元不等式恒成立问题的常用解题方法及简单应用

学科

数学

教学过程（详案）

例2.已知函数f(x)x2ax3a，在R上f(x)2恒成立，求a的取值范围.

解：法一：判别式法。法二：直接求最值。

a222a222。

变式1：已知函数f(x)x2ax3a，对aR，f(x)2恒成立，求x的取值范围.

变式2：若x1,1时，f(x)2恒成立，求a的取值范围. 法一：单调性法求最值；

法二：一元二次函数根的分布；

法三：参数变量分离。aa222

设计意图：让学生进一步掌握一元二次函数型恒成立问题的解题策略和针对不同问题的方法选择，让学生能够快速选择最恰当的方法。

2x例3：已知a0且a1,当x(1,1)时，不等式xa授课班级

3.11 知识与技能：

复习回顾解决一元不等式恒成立问题的常见方法，用实际问题进一步强化学生对于问题本质和方法的理解；掌握不等式恒成立问题的简单应用，熟练地将隐形的恒成立问题转化为显型的恒成立问题。

教学目标

过程与方法：通过对于问题的探究以及方法的综合运用，从中体会转化化归等思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感、态度与价值观：通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

教学重点

教学难点

教学方法

教学手段

不等式恒成立问题的解题策略和简单应用

选择解决问题的方法

教师引导，自主探究

传统教学配合多媒体

教学过程（详案）

不等式恒成立问题的本质：最值问题。

解决恒成立问题的常见方法：分离法，单调性法，转换变元，判别式法，根的分布法，导数法，分类讨论，数形结合，合情推理。

解题原则：分清变元与参数，搞清不等式与函数类型，选择适当方法，尽量避免讨论，转化成最值问题。

例题赏析：

例1：对于满足a2的所有实数a,求使不等式ax7x2a恒成立的x的取值范围. 解：问题关键：搞清变量和参数，转换变元。

法一：转换变元，单调性法。

法二：参数变量分离。x21恒成立，求a的取值范围。

2解：数形结合法：不等式xa画出yax，yx22x11x2可化为ax

2211的图像。由图看出a的范围为aa1或1a2。 223x1

2设计意图：通过简单的问题，进一步让学生掌握转化变元和参数变量分离这两种常用方法，并且体会一次函数型恒成立问题的解题策略。

1

设计意图：对于混合函数型恒成立问题，常用的代数方法失效情况下，转化成图像问题是个不错的选择。事实上，本题采取合情推理求必要条件，也能蒙对答案，但是缺乏严谨性。

教学过程（详案）

例4：（2008江苏）设函数f(x)ax33x1，若x[1,1]时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。

解：法一：单调性法求最值；

法二：参数变量分离；

法三：合情推理，求命题成立的一个必要条件，“逼”出答案，再检验。aa4

设计意图：本题着重强调方法三，虽然其具有巧合性，但是对于复杂的恒成立问题，有时讨论比较繁杂，可以先求命题成立的一个必要条件，缩小参数范围，减少讨论，这是同学们解决较困难问题所必须具有的素质。

简单运用：

1.若函数f(x)教学过程（详案）

整体设计意图：不等式恒成立问题不仅仅是以显然的形式给出，有时问题隐藏的比较深，需要我们去挖掘，上面的四个问题就是我们常见的几种隐形的恒成立问题。

触摸高考：

1.（2010全国新课标理）设函数f(x)ex1xax2。（1）若a0，（1）求f(x)的单调区间；（2）若当x0时f(x)0，求a的取值范围

解：（1）f(x)在(,0)单调减少，在(0,)单调增加. （2）a的取值范围为(,]. 2.（2012浙江理）设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝____(a21)x2(a1)x2的定义域为R，求实数

a的取值范围. a1123__________．

2解：f(x)的定义域为R时，a的取值范围为[1,9]。

2x2.已知a0，函数f(x)(axbxc)e在[0,1]上单调递减且满足f(0)1,f(1)0，求a设计意图：对于高考的函数压轴题，不等式恒成立问题通常都是分类讨论思想结合导数法、单调性法等基本方法完成的，虽然比较综合，但是还是总从基本的解题原则的。而高考具有难度的小题，方法则要灵活许多，需要同学们更加的变通，但是万变不离其宗。

小结：1.复习回顾不等式恒成立问题的解题方法和原则；

2.利用实际问题进一步剖析各种解题方法；

3.不等式恒成立问题的应用。

作业：练习册

的取值范围。

解：a的取值范围为(0,1]。

3.若关于x的不等式2x8x4a0在1x4内有解，求实数a的取值范围。

解：a的取值范围为aa4。

22x31,x,1x1x22a2a0，若4.已知函数f(x)，函数g(x)asin61x1,x0,1623x10,1，对x2[0,1]，使得f(x1)gx2成立，求实数a的取值范围。

解：

aa1

一元不等式恒成立问题

方法梳理

实例讲解

简单应用

板书设计

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