信息技术应用 估计√2的值教案1

课 题：§2.5等比数列的前n项和（第1课时）

授课时间

2019 年 5 月 18 日 1、知识与技能：

掌握等比数列的前n项和公式并能进行简单应用. 2、过程与方法：

计划课时 1 节

教学目标

掌握等比数列前n项和公式的推导方法. 3、情感态度与价值观：

在推导前n项和公式的过程中体会分类讨论思想.

教学重点

等比数列n项和公式的理解、推导

教学难点

灵活应用等比数列前n项公式解决一些简单的有关问题

教学方法

启发、引导、讨论

【教学内容及教学过程】

(一)、情境引入：

悟空融资[来源:Zxxk.Com]

孙：大家好，我是花果山水帘洞美猴王——孙悟空！

猪：最近很烦！花果山搞了农家乐，可是经费不足，银行又不肯贷款. 怎么办呢？

猪：猴哥，好久不见，最近在哪发财？

孙：最近，老孙的花果山农家乐周转有些困难，听说你继承了高老庄一大笔遗产，特来找你帮忙！

猪：这样吧，我每天向你投资100万，连续投资30天。咱们兄弟就不讲利息了，你就第一天给我1块钱，第二天给我两块钱，第三天给我4块钱，以后每天给我前一天的两倍，意思意思一下就算了. 如果你同意的话，咱俩就签合同吧！

孙：肥猪一脸的奸笑，会不会有诈？

请问：这笔买卖划算吗？

按照八戒提出的方案：每天投资100万，连续30天。那么三十天后，悟空一共从八戒手中吸纳了T30 =100万乘以30 = 3千万元

而悟空需要第一天返还八戒1块钱，第二天返还两块，第三天返还4块，后一天为前一天的两倍，也就是说悟空总共需要返还八戒S30 = 1、加上、2的一次方、加2的二次方、一直加至2的27次方、2的28次方、加2的29次方

的总和. 请问悟空每天返还的资金： 1， 2的一次方、2的二次方、2的27次方、2的28次方、2的29次方、构成什么数列？

这些数的连加可以归结为、什么类型的数学问题呢？那么它们连加后到底等于多少呢？

(二)、新知探究：

探究： S30 = 1 + 2 + 2+ …… + 212 27 + 228 + 2 = ？

29问题：观察相邻两项的特征，有何联系？

答：如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的后一项

问题：将上述①式两边同乘以2，得到②式，比较①、②两式，你有什么发现？

答：两式右边中间的一些项是相同的

由①

–

②得： -S30 = 1 – 230

，

S30 = 230

– 1 因此，悟空总共需要返还八戒2

– 1块钱

这个数约等于10亿，远远大于悟空从八戒手上吸纳的资金，显然这笔买卖如果谈成了，肥猪挣大发了！！！ 不学数学害死猴啊！！！

反思：

纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？那乘以3？ 22 ？会达到一样的效果吗？

问题：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢? （三）知识探究

设{an}为等比数列, 30a1为首项，q为公比，它的前n项和Sn

Sna1a1qa1q2…a1qn2a1qn1

③

两边同时乘以q：

qSn

a1qa1q2a1q3?a1qn1a1qn

④

由③- ④得

(1q)Sna11qn

分类讨论

a1(1qn)aanq ∴当q1时，Sn

⑤ 或Sn1 ⑥

1q1q当q=1时，Snna1

(q1)na1即Sna1(1qn)a1anq1q1q(q1)

说明：当已知a1, q, n 时用公式⑤；当已知a1, q, an时，用公式⑥. 公式的推导备用方法：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由

n1aaq1n2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得

23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1a1qn a1(1qn)aanq∴当q1时，Sn

① 或Sn1 ②

1q1q当q=1时，Sn公式的推导方法二：

na1

有等比数列的定义，aa2a3nq

a1a2an1

根据等比的性质，有a2a3anSna1q

a1a2an1Snan即

Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

qSn1＝a1q(Snan)

（结论同上）

＝a1(1q)Sna1anq

“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决

（四）、例题讲解

例1．根据下列条件，求相应的等比数列{an}的前n项和Sn . (1) a1 = 3，q = 2，n = 6； (2) a1 = 8，q = ，an

=

；

118a(1q)3(12)a1anq2231(1)Sn1189(2)Sn1q1211q2

12n6变式.求数列1， a， a， a，…… 的前n项和Sn . 解：当a= 0时，数列首项为1，余下各项为0，此时

Sn = 1 + 0 + … + 0 =1

当a=1时，数列为各项为1的常数列，此时

Sn = 1 + 1 + … + 1 =n

当a

0且a

1时，

数列为公比不为1的等比数列，

–

–

–

–

123此时

Sn

=

=

1 q0na q11因此，该数列的前n项的和Sn

na1

q0且q1a1

练习1、在等比数列{an}中，求满足下列条件的量:

(1)a1a32,求公比q与前n项和Sn

1(2)q2,n5,a1.求an和Sn2【说明】

[来源学_科_网Z_X_X_K]1、在利用公式，一定要注意q的取值，应把它作为第一要素来考虑。

2、在五个变量a1,q,n,an,Sn中，只知三可求二，要根据具体题意，选择适当的公式。

例2、【能力迁移】明朝著名数学家吴敬《九章算法比类大全》有诗云“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗给大家呈现一幅美丽的夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？

（五）课堂小结

在师生互动中让学生了解：（由学生归纳总结）

1. 等比数列求和公式：当q=1时，Snna1

a1(1qn)a1anq当q1时，Sn 或Sn ； 1q1q2．公式推导过程中用到的“错位相减”方法； 3．公式的运用:对

,q,n,

知三个能求二．

（六）、课后作业：

1、课本P61 A组第1题 2、《优化探究》P61-62基础巩固 思考题（备用题）

1、求和Snx2x23x3nxn(x0)．

解：由式子特点，两边同乘x，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意公比的讨论．

⑴当x1时，Sn123nn(n1)．

2nxn，

⑵

当x1时，Snx2x23x3nxn1

3nxSnx22x33x42(1x)Snxxxxnxn1x(1xn)nxn1．

1xx(1xn)nxn1Sn．

(1x)21x．

n(n1)(x1)2Snnn1x(1x)nx(x0且x1)2(1x)1x

n＋134n2.求和：Sn = 1＋22＋23＋…＋n－1＋2n.

2n＋1234解析：

设Sn＝＋2＋3＋…＋n，①

2222n＋11234则2Sn＝22＋23＋24＋…＋n＋1.②2由①－②，

324312n＋1nn＋1得2Sn＝2＋22－22＋23－23＋…＋n－n－n＋1

222[来源:Zxxk.Com]

§2．5等比数列的前n项和（第1课时）

（一）、知识复习

（二）、课题引入与知识探究

（四）课堂小结

（五）课后作业

（六）补充练习题

题1 题2

板书设计

学.科.网Z.X.X.K][来源:等比数列的前n项和公式的推导

（三）例题讲解

例1 练习1 例2

过对本节内容的学习，要注意不能按照等差数列求和直接使用“倒序相加法”，必须采用新的教学反思

方法——“错位相减法”，同时注意推导公式时要引导好学生进行分类讨论；在例题讲解时，注意例2的思维迁移与应用，将文学问题转化为数学建模的思想