信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例课堂实录

第四节基本(均值)不等式

考纲要求：1.了解基本(均值)不等式的证明过程．

2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．

基础知识：

1．基本(均值)不等式ab≤a＋b

2(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．

aba＋ba＋b2a＋b2(3)ab≤(a，b∈R)．(4)≥222(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可2叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本(均值)不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4[自我查验]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) a＋b(1)当a≥0，b≥0时，≥ab.(

) 2a＋b(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ab成立的条件是相同的．(

) 2(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(

) (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(

) 1(5)函数y＝x＋的最小值是2.(

) xxy(6)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件．(

) yx1(7)若a≠0，则a2＋2的最小值为2.(

) a2．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则xy的最大值是________．

22

3．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

考点一：利用不等式求最值：

角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值

[典题1]

(1)已知0

) 1132A.

B.

C.

D.

3243(2)若函数f(x)＝x＋1(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(

) x－2A．1＋2

B．1＋3

C．3

D．4 51(3)①已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值；

44x－5y2②已知x为正实数且x＋＝1，求x1＋y2的最大值；

22x－1③求函数y＝的最大值．

x＋3＋x－1

角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值

11[典题2]

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

ab111＋1＋的最小值为________．

[探究1]

本例的条件不变，则ab11

[探究2]

本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值ab为________．

[探究3]

若将本例中的“a＋b＝1”换为“a＋2b＝3”，如何求解？

角度三：通过消元法利用基本(均值)不等式求最值

[典题3]

已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．

考点二：不等式与函数结合:

[典题4]

(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(

) A．(－∞，－1)

B．(－∞，22－1) C．(－1,22－1)

D．(－22－1,22－1) x2＋ax＋11(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值x＋1范围是________．

p已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0) ，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实x－1数p的值为(

) 99A．2

B.

C．4

D.

42考点三：不等式实际应用：

[典题5]

某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产xx件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的8生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(

) A．60件

B．80件

C．100件

D．120件

某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．