小结教学设计一等奖

数系的扩充与复数的引入（小结）教学设计

贵州省镇宁民族中学 张

培

一．课程目标

本节课的内容是高中数学人教A版选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》的复习小结，本章的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式四则运算。教师要求全班56名学生学会思维导图在数学中的应用，从中选取了两幅具有代表性的思维导图在课堂上分享。并借助多媒体辅助手段，以学生为主体，让学生在参与中学会学习、学会合作，教会学生思考、表达、体验的三教理念。通过本节课的学习，使学生掌握思维导图在高中数学中的应用，对本章内容加深理解。同时也培养学生具备高中数学核心素养中的数学抽象、逻辑推理和数学运算等能力。

二．教材分析

本章的内容分为两节：数系的扩充和复数的概念及复数代数形式的四则运算。与传统的教科书的复数内容相比，有很多删减，避开了繁琐的计算和计较，课程设置更侧重知识自认的引入和深化。

三．学情分析

我所教的学生是的高二文科学生，在学习上有较强的自觉性和概括能力。在教学中采用“学案导学，教学合一”的教学模式，学生已经学过了复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识，能够进行简单的复数计算和应用，还需培养学生的数学运算能力。

四．教学目标

（一）知识与技能

理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示。会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值。掌握复数加法、乘法运算律，能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。同时还要掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义。

（二）过程与方法

对复数问题实数化的思想方法要领会，并能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

（三）情感态度与价值观

在学习复数的概念和运算过程中，利用数学的相关概念和运算类比来进一步学习，寻找区别和联系。培养学生具备高中数学核心素养中的数学抽象、逻辑推理和数学运算等能力。

五．教学重难点

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用．

教学难点：梳理复数的知识结构。

六．教学的策略和设计

这是一节《数系的扩充与复数的引入》的复习课，小知识点很多。教师要求全班56名学生学会思维导图在数学中的应用，从中选取了两幅具有代表性的思维导图在课堂上分享。以学生为主体，自主学习，教师起主导作用，给以适当的辅导。所以我采用的策略是通过思维导图和导学案，激发学生的兴趣和求知欲后，播放PPT的知识梳理和考点试题，

教师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本章的知识。这样才能达到让学生系统把握本章知识的目的。为巩固知识，提高解题能力和数学思想方法水平，特设课堂训练，让学生进行课堂练习。

七．教学资源与工具

（一）制作复习小结的思维导图和PPT （二）录制本节课的视频

（三）印制导学案

（四）课后作业

八．教学过程

（一）思维导图

教师要求全班56名学生学会思维导图在数学中的应用，从中选取了两幅具有代表性的思维导图在课堂上分享。

（二）知识梳理

1．复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

a＝c，3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔b＝－d

(a，b，c，d∈R)．

4．复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴除去原点叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示实部不为0的虚数．

复数集C和复平面内的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

5．复数的模

向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝

a2＋b2. 6．复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. z1a＋bi(a＋bi)(c－di)(4)除法：＝＝＝

z2c＋di(c＋di)(c－di)ac＋bd＋(bc－ad)i(c＋di≠0)．

22c＋d7．复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

考点一

复数的有关概念 [小组合作] 1．(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a2＋ia－i

的值为________．

解析：由＝2＋i0，所以a＝－2. 答案：－2

2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断检测)若复数z＝中a∈R，i为虚数单位)的虚部为－1，则a＝________.

解析：因为z＝＝＝＋的虚部为－1，所以＝1＋i(1＋i)(1－i)222－1，解得a＝－2. 答案：－2 考点二 复数的几何意义 [小组合作] 2＋i1．(2018·陕西西安地区八校联考)复数z＝的共轭复数对应的1－i点在复平面内位于(

) A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2＋i(2＋i)(1＋i)1＋3i13解析：复数z＝＝＝＝＋i，则复数z的1－i(1－i)(1＋i)22213共轭复数为z＝－i，所以复数z的共轭复数对应的点的坐标是2213，－，该点位于第四象限，选D. 22a－i(a－i)(2－i)2a－12＋a52＋a＝－i是实数，得－＝555(其1＋iaiaiai·(1－i)aaia

答案：D 2i2．(2018·河北省“五校联盟”质量检测)在复平面内与复数z＝1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为(

) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 2i2i(1－i)解析：因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐1＋i(1＋i)(1－i)标为(1，－1)，其对应的复数为1－i. 答案：B 考点三

复数的运算 [小组合作] 3＋i 1.(2017·新课标全国卷Ⅱ)＝(

) 1＋iA．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 2.(2017·山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·＝4，则a＝(

) A．1或－1 B.7或－7 C．－3 D.3 3＋i(3＋i)(1－i)4－2i解析：(1)＝＝＝2－i，选择D. 1＋i(1＋i)(1－i)2(2)由题意可知＝a－3i，∴z·＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1. 答案：(1)D (2)A

课堂练习

1．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________. 解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R，

22a－b＝3，∴2ab＝4

4a－a＝3，⇒ab＝222

2a＝4，⇒ab＝2.

∴a2＋b2＝2a2－3＝5，ab＝2. 答案：5 2 1－2i2．(2018·石家庄市第一次模拟)若z是复数，z＝，则z·z1＋i＝(

) 1055A. B. C．1 D.

2221－2i(1－2i)(1－i)1313解析：因为z＝＝＝－－i，所以z＝－＋1＋i(1＋i)(1－i)2222i，所以z·z答案：D

课堂小结：

1.

复数的概念

2.

复数相等

3.

共轭复数

4.

复平面

5.

复数的模

13135＝－－i－＋i＝. 22222

6.

复数的加、减、乘、除运算法则

7.

复数加法的运算律

布置作业

： P63第1、2、3题

九．教学反思

在课堂教学过程中应多侧重中差生的辅导，加强培养学生的数形结合思想，容易出错和混淆的知识点：

1.判定复数是不是实数,不仅要注意虚部等于0,还必须考虑它的实部是否有意义。

2.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来。

3.在教学过程中，注意复数和虚数的关系是包含关系,不能把复数等同为虚数。虚数不能比较大小,而两个复数都为实数时,则可以比较大小。