3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案公开课一等奖

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

【学习要求】

1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．

【学法指导】

复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”. 填一填

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________. 2．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

交换律

z1·z2＝________

结合律

3．共轭复数

(z1·z2)·z3＝____________ 乘法对加法的分配律

z1(z2＋z3)＝______________ 如果两个复数满足_________________________时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝________. 4．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

z1a＋bi则＝＝_____________________. z2c＋di

研一研

探究点一

复数乘除法的运算

问题1

怎样进行复数的乘法？

答

两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

问题2

如何理解复数的乘除法运算法则？

答

复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进2

行，注意要把i化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

例1

计算：(1)(2＋i)(2－i)；

(2)(1＋2i)；

1＋i62＋3i(3)()＋. 1－i3－2i解

(1)(2＋i)(2－i)＝4－i＝4－(－1)＝5；

(2)(1＋2i)＝1＋4i＋(2i)＝1＋4i＋4i＝－3＋4i；

21＋i62＋3i3＋2i(3)方法一

原式＝[2]＋

223＋26＋2i＋3i－66＝i＋＝－1＋i. 5方法二

(技巧解法) 21＋i62＋3ii原式＝[2]＋

3－2ii2＋3ii6＝i＋＝－1＋i. 2＋3i小结

(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用222222

乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式、完全平方公式等．

(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．

跟踪训练1

(1)i是虚数单位，复数－1＋3i1＋2i等于A．1＋i

B．5＋5i C．－5－5i

D．－1－i 解析

－1＋3i－1＋1＋2i＝3i1－2i1＋2i1－2i＝5＋5i5＝1＋i. 故选A. 234(2)复数i＋i＋i1－i等于

A．－12－12i

B．－112＋2i C．12－12i

D．112＋2i 234解析

i＋i＋i－1－i＋1－i1－i＝1－i＝1－i

＝－i1＋i1－i1＋i＝－i＋1112＝2－2i. (

) (

)

探究点二

共轭复数及其应用

问题

共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？

答

(1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

例2

已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z. 解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z＝a－bi且|z|＝a＋b＝1，即a＋b＝1.

①

因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，

所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.

②

44a＝5，a＝－5，由①②联立，解得或

b＝3，b＝－3.552222

4343所以z＝5－5i，或z＝－5＋5i. 小结

本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．

跟踪训练2

已知复数z满足：z·z＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．

解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·z＝a＋b，

∴a＋b＋2i(a＋bi)＝8＋6i，

即a＋b－2b＋2ai＝8＋6i，

22a＋b－2b＝8a＝3∴，解得，∴a＋b＝4，

2a＝6b＝1222222

∴复数z的实部与虚部的和是4. 练一练

1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于

(

) A．－i

B．i

C．－1

D．1 2．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于

(

)

A．1＋3i

B．3＋3i

C．3－i

D．3 i－23．复数等于

(

) 1＋2iA．i

B．－i 4343C．－－i

D．－＋i 55552－i4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限2＋i为

(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

22－i2－i3－4i解析

因为z＝＝5＝5，

2＋i故复数z对应的点在第四象限，选D.

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写

成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．