4.1 从问题到方程ppt课件课堂实录

4．1 从问题到方程

【课时数】

1课时

【教材分析】

本节课《从问题到方程》是本单元第一节内容．教材从贴近学生生活的实际问题出发，设计了许多“做数学”的内容，让学生经历和体会从实际问题中抽象出数学模型，建立一元一次方程，从而体现本套教材“做数学”的特点．

【教学目标】

1、知识与能力目标

（1）通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受到方程是刻画现实世界的有效模型；

（2）通过观察，归纳一元一次方程的概念；

（3）通过教学初步培养学生观察、思考、分析问题的能力．

2、过程与方法目标

经历从实际问题中构建方程模型，体会由实际问题抽象为方程过程中蕴涵的建模思想．

3、情感态度与价值观目标

（1）通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的优越性；

（2）在活动中，培养学生独立思考、合作交流的意识；

（3）体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学习数学的乐趣．

【教学重点】

引导学生探索实际问题中的相等关系，构建方程模型，将实际问题转化为方程．

【教学难点】

引导学生探索实际问题中的相等关系，渗透模型思想，培养学生的符号意识．

【课程资源】

1.教科书，教师教学用书

2.学案：结合本校实际和学生学习状况对学材进行二次开发，形成导学案、节节清检测。

3.网络：充分利用现有的多媒体教学设备、自制的课件等。

4.其他资源：老师手里的各种书籍、资料、各级各类统一考试卷等。

5. 有关方程的历史知识

有关方程的历史知识

方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组

3x＋2y＋z＝39，

○12



2x＋3y＋z＝34，

○3x＋2y＋3z＝26，

○古代是将它用算筹布置起来解的，如图所示，图中各行由上而下列出的算筹表示x、y、z的系数与常数项．我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．

上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．

“元”的概念

宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程．后人们又设立了地元、人元、泰元来表示未知数，有几元便称为几元方程．这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》（1248），书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x．”所以现在在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未知数的方程叫“一元方程”，而两个以上的未知数，在古代又称为“天元”、“地元”、“人元”．

【教学准备】

教师准备：多媒体课件

学生准备：课前预习本节内容

【教学内容与过程】

教学过程(详案）

【情境引入】猜猜老师的年龄

1．教师自我介绍

2．学生自我介绍（姓名+年龄）

3．猜猜教师的年龄

设计意图

数学来源于生活，教师有目的地引入或创设与学生生活相关的实际生活中的问题情境，设置悬念，帮（1）用老师的年龄加上5再除以3就等于你们大多数同学的助个体在多样化情境中理年龄13岁．谁知道老师的年龄？（算术方法）

解学习的必要性，有助于（2）再过多少年你们的年龄是老师年龄的一半？（算术方法激发学生的情感，调动学难以解决）

生积极学习的情绪，激发显然，用算术方法就很麻烦，从今天起我们将开始学习解决学生学习学数的兴趣，从问题的一种新的方法——方程．这节课我们研究的《4．1 从问题而有利于培养学生的核心到方程》（揭示课题）．

【观察思考】

素养．

指导学生观察天平平衡的我们先一起来观察一幅图片，现在天平已经处于平衡状态．天状态，思考天平平衡的核平为什么会平衡？

左（边的质量）=右（边的质量）．

心思想，引导学生从中中抽象出天平左右两端数量如果我们把天平左边两个小球设为x

g，那么左边的质量为多之间的相等关系，帮助学少？那右边呢？（2x+1，5）

左右两边什么关系？（相等）

生初步领悟方程就是实际问题中表达数量之间相等所以说天平平衡表示的是数量之间的相等关系．我们用未知关系的一架隐形的“天数将它们表示出来后，那么这个关系就可以表示为一个数学式子平”．同时，培养学生从数（2x+1=5）．

学的角度，用数学的思维像这样含有未知数的等式，我们小学里学过，就是我们熟悉方法解决不同问题的能的方程．方程就是表达数量之间相等关系的一架“天平”,它就表力，从而培养学生的数学示左、右两边相等．

抽象核心素养．

【探究问题1】

通过两个不同角度、不同篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分．某篮球层次的“问题——互动”队赛了12场，共得20分．

请问该篮球队胜了几场？负了几场？

环节，设计课堂教学培养你能描述数量之间的相等关系吗？题目有没有提示？哪句核心素养，从与学生生活话？

胜场得分+负场得分=20 紧密相关的问题着手，拓展至数学趣味问题，兼顾如果设该队胜x场，马上就可以表示出该队负(12 –

x)场．

了问题的启发性、引导性这个(12 –

x)哪来的？胜的场数+负的场数=12 和思考性．从而做到“人如果根据上面这个相等关系，就可以得到方程2

x

+ 1• (12 –

人学有价值的数学，人人x) = 20 都能获得必需的数学，不如果根据下面这个相等关系，应该怎么设未知道，列出方程？

同的人在数学上得到不同【探究问题2】

的发展．”同时，在实际问 我国古代问题：以绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，题处理中，培养学生能够绳多一尺．绳长、井深各几何？

运用数学语言，清晰、准 意思是：用绳子量井深，把绳折成等长的三段来量，井外余备地表达数学建模的过程绳四尺；把绳折成等长的四段来量，井外余绳一尺．绳长、井深和结果；在教学细节中，各几尺？

1解：设绳长为x尺，那么(x4)

尺表示井深；

31 类似地，(x1)尺表示井深．

411x4=x1

34培养学生思维的深刻性；在知识生成中，培养学生思维的主动性，培养学生数学建模核心素养．

或者：

3y4)

尺表示绳长；

设井深为y尺，那么（4y1)尺表示井深．

类似地，（

（3y4）（=4y1）

【总结归纳】

如何从问题到方程？

初中生面对不同问题情境，将情境模型化的能力回顾一下，在探究这个问题时，我们是如何从问题到方程的？不足，即化归意识不强，我们经历了哪几步？（找-设-列）

哪一步最关键？（找相等关系）

需要教师通过追问的形式，引导学生归纳总结，要想有方程，只有先找到相等关系，我们刚才是不是根据相从而帮助学生提炼出构建等关系得出来的？所以我们要读懂题目中背后隐含的相等关系．

方程模型的方法，培养学生的数学抽象核心素养．

【年龄】

1.让学生通过构建出来的同学的年龄是13岁，老师的年龄34岁.设再过x年，同学的方程模型来描述问题，培年龄是老师年龄的一半，可得方程________. 【定义】

养和巩固学生的构建方程模型的能力，从而再次强一元一次方程：指只含有____个未知数（元），并且未知数的化学生的符号意识，提升次数都是____（次）的方程．

师：接下来，我们来做几个练习．

【练一练】

学生的数学核心素养．同时，解决前面留下来的问题，前后呼应．

1.下列各式中，是一元一次方程的为_____________________2.通过归纳、举例，以及（填序号）．

辨别等活动，引导学生透①

3x + 4；②5 - 2=3；③4x + y=6；④2x2 - x=0；⑤5x + 4=0；过现象抽象出问题的本⑥14；⑦

x =2．

x1质，实质是教学生学会学习、学会思考，养成从数学的角度解决问题的习惯，培养学生数学思维的主动性；通过提炼数学概念、概括数学模型，可以使学生在解数学题时有意识地区分问题的主次，抓住事物的本质核心，培养 2．把50 kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg.设每个袋子可装大米xkg，可得方程________．

学生的数学抽象核心素养．

【合作探究】

请你用方程3x+5=50，描述一个与刚才不一样的实际问题．

通过学生自己创设问题情境，将数学抽象问题赋予活动规则：下面我们分小组活动，前后左右4个人一个小组，一定的实际背景，让学生其中一个人负责记录在练习纸上．待会儿我们再一起交流．

【小结反思】

体会到要只要有相等关系的问题都可以用方程描通过自己设计问题，你觉得怎样的问题可以用方程描述？（要述．同时，让学生意识到有相等关系）

并不是所有的问题都能用也就是说，没有相等关系的问题，方程就无法描述,以后我们方程来描述，从而为以后会再学习新的方法．

学习不等式和函数做好铺垫．通过逆向思维活动，培养和提升学生的数学抽象核心素养．

【分享收获】

请同学们来谈一谈，今天你有哪些收获？

1．怎样用方程描述问题（3步：找设列）

2．一元一次的概念

设计了师生问答、和全班同学分享交流等活动，让学生融入集体的学习中，在和别人的交流中完成复习巩固学习内容，进一步强化学习目标，促进学生数学学科核心能力的发展．

【人生方程】

波利亚说过“教学生解题我们生活中有很多实际问题，都可以抽象为数学问题，而对是意志的教育，当学生求数学问题的研究，我们通常是建立适当的模型，比如说我们今天解那些对他来说并不太容研究的方程．随着我们数学知识的积累，以后我们会逐步体会到易的题目，他学会了败而方程在解决实际问题中的重要性．

最后以爱因斯坦的成功方程与大家一起共勉：

A = X + Y + Z 不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待灵感的到来，学会了当灵感到来

(成功=艰苦的劳动+正确的方法+少说空话) 后全力以赴．”基于核心素养的数学教学不仅教会学生数学知识，还要渗透数学文化，发展学生的数学素养．

【作业巩固】

1．下列方程中哪些是一元一次方程？________ （填序号）

通过当堂检测，不仅能及时巩固学生的学习效果，1①x＝1，②3x＋2＝8x－7，③x2y，④

－2x－3＝0．

还能帮助教师及时了解学3生“最近发展区”所处的2．用方程描述下列问题中数量之间的相等关系：

水平、发现问题和归因情(1)小亮买5本练习本和2枝圆珠笔一共用了5．5元，圆珠笔每况，根据实际情况，在教枝1．5元．设练习本每本x元，

学设计和教学行为上做了可得方程__________________．

反馈和调整．在课堂教学(2)小丽从出版社邮购3本同样的书，包括邮费的总价为37．5元，改进的过程中可能会产生邮费6元．设每本书x元，可得方程______． 一些意想不到的新问题，这就需要不断面对问题、解决问题，促进学生数学学科核心能力的发展．

【教学评价】

1.学习内容贴近生活，学生参与互动较多，小组讨论较热烈，当堂掌握效果较高，学生能解决一些较简单的问题．

2.凸显了学生的主体意识．让学生在解决实际问题的过程中，感受到代数方法的优越性，让学生通过合作与交流，得出用方程解决问题一般方法． 3. 渗透方程的建模思想．把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来，培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力．

【预习任务与课后作业】

课课练P58:第1-5题．