平方差公式教学设计及课堂实录

《平方差公式》教学设计

教学目标

1．知识与技能

会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．

2．过程与方法

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．

3．情感、态度与价值观

通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．

教学重、难点与关键

1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．

2．难点：平方差公式的应用．

3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．

教学方法

采用“情境──探究──猜想──归纳──验证──应用──拓展”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．

教学过程

一、情境导入

王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快？”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗？你现在能算出来吗？学了本节之后，你就能很快解决这个问题了。

从而引出课题：平方差公式。

二、自主探究

1、计算下列多项式的积。观察下列各式，它们有什么特征？你能用字母把这个特征表示出来吗？

（1）（x+1）（x-1）= （2）（1+2x）（1-2x）= （3）（3m+n）（3m-n）= 2、观察等号左边各式，它们有什么特征？

3、分组计算下列各式，并请你观察它们的运算结果，你发现了什么规律？

4、讨论运算结果，你发现了什么规律？

5、猜一猜：（a+b）（a-b）=a2-b2 6、归纳：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

7、代数法验证：运用乘法分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，进一步体会转化的思想，从而验证猜想。

（a+b）（a-b）=a（a+b）-b（a+b）=a2+ab-ab-b2=a2-b2 8、几何法验证：在一块边长为a的正方形纸板上，因实际需要在一角上剪去一块边长为b的正方形，剩下部分的面积是多少？

方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2 方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。得到新矩形的面积为（a+b）（a-b）

利用面积相等推得平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 学生活动：教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。

9、公式结构特征：使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式来计算呢？也就是说，平方差公式具有什么样的特征？

（1）公式的结构特征：左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方. （2）字母的广泛含义：公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。

学生活动：尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，以便能够准确运用。

三、新知应用

1、试一试，对照公式填表。

（a+b）（a-b） a（相同的项） b（互为相反数的项） a2－b2（平方差的形式）

（y+3）（y-3）

（a+3b）（a-3b）

（-m-n）（-m+n）

（a+b+c）（a+b-c）

2、小试牛刀，例1运用平方差公式计算：

2、小组合作，自主学习

【问题牵引】计算：

（1）（x+2）（x－2）；

（2）（1+3a）（1－3a）；

（3）（x+5y）（x－5y）；

（4）（y+3z）（y－3z）．

做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．

【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：

（1）（x+2）（x－2）=x2－4；

（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；

（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；

（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．

【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．

【学生活动】讨论 【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？

【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．

用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．

四、范例学习，教师精讲

【教师讲述】

平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．

【例1】运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x－2）；

（2）（-x+2y）（-x－2y）

填表：

(a+b)(a－b) （-x+2y）（-x－2y）

【例2】计算：

（1）（y+2）（y－2）－（y－1）（y+5）

（2）102×98 通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．

五、随堂练习，巩固新知

课本P88练习第1、2题．

a

b

a2－b2

(3x) 2－22

结果

（3x+2）（3x－2）

3x

六、课堂总结，发展潜能

本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．

七、布置作业，专题突破

1、课本P88 习题A第1、2、3题．（全体）

2、课本P88 习题B第1、2题．（（A级必做 B级选做 C级不做）

3、选用课时练 68-69．

八、板书设计

8.5乘法公式（一）

1、平方差公式 例：

（a+b）（a－b）=a2－b2 练习：