相似多边形第二课时教学实录

相似多边形教学设计

中江县柏树中学 刘德安

教学目标

1.了解成比例线段的概念,会判断已知线段是否成比例..理解相似多边形的概念、性质及判定..能根据相似多边形的有关概念和性质进行判断及有关计算.

2..通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似多边形的概念的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法..通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算,体会方程思想在几何中的应用,渗透数形结合思想.

3.经历相似多边形概念的形成过程,培养学生的观察、推理能力,激发学生探究及发现数学问题的兴趣..在探索相似多边形性质的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.

教学重点、难点：

【重点】

1.理解并掌握相似多边形的概念及性质.

2.能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.

【难点】

探索相似多边形的性质中的“对应”关系.

教具准备：

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

形状相同的两个三角尺及边长不等的两个正方形.

教学过程：

一、新课导入

（一）

如图所示的一块黑板,长3米,宽1.5米,加一7.5厘米宽的边框,边框外围与边框里边的矩形形状相同吗?

【导入语】

我们凭借“直观”感觉这两个矩形的形状相同,实际上这两个矩形的形状是不相同的,通过今天的学习,我们将知道这两个矩形的形状为什么不相同

.

（二）

如图所示,将△ABC用2倍放大镜观察得到△A1B1C1,这两个三角形相似吗?

这两个三角形中的对应角、对应边之间有什么关系?

（三）

如图所示,将四边形ABCD用2倍放大镜观察得到四边形A1B1C1D1,这两个四边形相似吗?这两个四边形中的对应角、对应边之间有什么关系?

通过黑板四周加宽得到的矩形与原矩形是否相似导入新课,激发学生学习的求知欲,为本节课学习相似多边形做好铺垫.以学生熟悉的放大镜观察三角形和四边形导入新课,学生易于理解和掌握,降低学习相似多边形概念的难度.

二、构建新知：

（一）成比例线段概念

(1)把九年级数学课本的两个邻边看作两条线段AB和CD,那么什么是这两条线段的比?

(这两条线段的长度比叫做这两条线段的比)

(2)对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

(3)如何判断四条线段是成比例线段?

(四条线段中其中两条线段的比与另两条线段的比相等,就说这四条线段成比例)

(4)成比例线段的概念中应注意什么问题?

(成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段得到的比例式是不同的)

【师生活动】

学生在教师的引导下思考回答,教师课件展示成比例线段的概念.

[设计意图]

学生在教师提出的问题的引导下,层层深入地形成成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为相似多边形的概念的形成做了铺垫.

（二）、认识相似多边形

思路一

(1)问题思考.

①在导入二的△ABC及用2倍放大镜观察得到的△A1B1C1中,对应角之间的数量关系为:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1;

对应边之间的数量关系为:=

,=

,=

,即

=

=

.

②在导入三的四边形ABCD及用2倍放大镜观察得到的四边形A1B1C1D1中,对应角之间的数量关系为:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1,∠D

∠D1;

对应边之间的数量关系为:=

,=

,=

,=

,即

=

=

=

.

③放大镜下的图形与原图形是否相似?两个图形的对应角、对应边之间有什么关系?

(相似,对应角相等,对应边成比例)

④你能尝试给出相似多边形的定义吗?并尝试用几何语言表示出来.

⑤相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗?

⑥相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?

【师生活动】

(1)学生独立思考后小组合作交流,共同探究相似多边形的概念,教师要给学生足够的时间让学生交流,在巡视过程中帮助学习有困难的学生,并对学生的展示作出点评,同时规范学生的语言表达.

(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】

如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===,因此四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴

∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===.

思路二

(1)动手操作并思考.

①测量课前准备的两个相似三角形的各角(两个形状相同的三角尺),你得到什么结论?

(对应角相等)

②测量课前准备的两个相似三角形的各边,你发现了什么?

(对应边成比例)

③课前准备的两个正方形的各角相等吗?

(相等,都等于90°)

④课前准备的两个正方形的各边是否成比例?为什么?

(成比例,因为两个正方形边长分别相等,对应边的比都等于两个正方形的边长比.)

⑤你能根据以上探究活动得出相似多边形的概念吗?

⑥怎样用几何语言表示相似多边形的概念呢?

⑦相似比与两个相似多边形的顺序有关吗?

⑧相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?

【师生活动】

学生在教师的引导下,边动手操作边思考回答问题,师生共同归纳出相似多边形的概念.

(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】

如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===,因此四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴

∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===.

[设计意图]

通过观察——测量——辨析——归纳等数学活动,探究相似多边形的定义及性质,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法.在探究过程中,教师通过设置层层深入的小问题,引导学生完成探究活动,降低了学生学习新知识的难度,体验了知识的形成过程,提高了学生分析问题的能力.通过几何语言表达相似多边形的定义和性质,完成文字与符号语言之间的转化,培养学生用符号语言表达数学知识的能力.

三、例题讲解

判断正误,正确的说明理由,错误的举出反例.

(1)所有的矩形都相似.

(

)

(2)所有的菱形都相似.

(

)

(3)所有的正方形都相似.

(

)

(4)所有的等腰直角三角形都相似.

(

)

(5)所有的等边三角形都相似.

(

)

【师生活动】

学生独立思考后小组讨论交流,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,并指出易错点,强化相似多边形的判定方法.

(教材例题)如图所示,四边形ABCD与EFGH相似,求角α,β

的大小和EH的长度x.

【思考】

(1)相似多边形的性质是什么?

(2)根据相似多边形的性质,你能求出∠F,∠G的大小吗?

(3)四边形的内角和是多少度?

(4)由四边形内角和定理,能否求出∠H的值?

(5)相似四边形中,对应边AB与EF,AD与EH之间有什么关系?

(6)在比例式中,已知三条线段的长能否求出第四条线段的长?尝试求出EH的值.

【师生活动】

学生在教师问题的指导下独立思考,完成解答过程,小组之间交流结果,小组代表板书过程,教师点评,归纳总结.

解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,

∴α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,=,

即=,解得x=28.

在四边形ABCD中,β=360°-83°-78°-118°=81°.

【教师追问】

利用相似多边形的性质,可以解决哪种类型的几何问题?

(求角的大小、线段的长度;证明角相等、线段成比例等)

[设计意图]

通过对例题的探究,进一步巩固相似多边形的概念和性质,同时通过小组合作交流,归纳解题方法和思路,培养学生的合作意识及分析问题的能力.

[知识拓展]

(1)式子=也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.

(2)有时在=中,b=c,例如=,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b(或c)=ad.

22

(3)在式子=的两边同时乘bd,得ad=cb,在与比例有关的计算中,我们常通过上述变形转化字母之间的关系.

(4)通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.

(5)在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.

(6)相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数.

(7)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.

(8)相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形.

四．课堂小结

1.成比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

2.相似多边形的定义:.两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

五、课堂练习

1.关于相似多边形的下列叙述正确的是

(

)

A.对应边相等的多边形叫做相似多边形

B.多边形的边数不同时也可以相似

C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形

D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形

解析:两个边数相同的多边形,满足对应边成比例、对应角相等的多边形叫做相似多边形,两个条件缺一不可,所以A,C错误,D正确;边数不相等的多边形一定不相似,所以B错误.故选D.

2.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5,另一个和它相似的五边形的最长边的长为7,则后一个五边形的周长为

(

)

A.27

B.25

C.21

D.18

解析:根据相似多边形对应边成比例得相似比为,所以边长为1,2,3,4的各边对应的边长为,,,,则周长为++++7=21.故选C.

3.已知a,b,c,d是成比例线段,且a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d=

cm.

解析:因为a,b,c,d是成比例线段,所以=,把a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm代入,得=,解得d=4 cm.故填4.

4.在比例尺为1∶6000000的地图上,量得南京到北京的距离是15 cm,则这两地的实际距离是

km.

解析:设两地的实际距离为x

cm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺,得=,解得x=90000000,90000000 cm=900 km.故填900.

5.如图所示,六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,已知AB=5 cm,EF=6 cm,CD与C'D'的比值为1∶3,∠E=125°,求A'B',E'F'的长及∠E'的度数.

解:∵六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,

∴===,∠E'=∠E=125°.

∴A'B'=3AB=15 cm,E'F'=3EF=18 cm.

六、板书设计

1.成比例线段概念

2.认识相似多边形

定义

性质

表示

3.例题讲解

例1 例2

第2课时

七、作业

【必做题】

教材第27页习题27.1第1,2,3,5题.

【选做题】

教材第28页习题27.1第6,7,8题.