反比函数在物理学中的应用优秀公开课教案

17.2 实际问题与反比例函数（3）

张家集中学

杨萍

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

《实际问题与反比例函数》是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图象和性质的基础上的一节应用课。现实世界到处都有变化的量，而反比例函数是刻画现实世界中数量之间变化规律的一种常见的数学模型。本节课设置的三个问题都与物理学科知识相关，其本质体现的都是反比例函数的关系。通过本节的学习使学生经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程。体现反比例函数是解决实际问题的有效数学工具，为以后进一步学习函数知识打下坚实的基础。

实际问题与反比例函数的教学时数为4课时，本节课为第3课时。

（二）教学任务分析

（1）教学目标

1.知识目标：掌握反比例函数在其它学科中的应用，体验学科整合思想。

2.能力目标：分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步运用反比例函数的图象和性质解释其它学科中蕴涵的道理。

3.情感、态度与价值观目标：利用函数探索物理学科的知识，使学生的求知欲望得到激发，再通过自己所学知识解决了身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

（2）教学重点与难点

本节课的教学重点：把反比例函数与其它学科整合，运用反比例函数解释物理学科中的一些规律、解决一些实际问题。这是因为：

1.反比例函数是日常生活和生产实践中应用十分广泛的数学模型，它真正体现了数学知识来源于生活，又应用于生活的重要意义。

2.“利用反比例函数模型解决实际问题的步骤”是通过对例题的解题过程进行归纳总结而得到的结论，它遵循了从“具体到抽象再到具体”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般再到特殊”的推理方法，对今后学习数学有重要的指导意义。

教学难点：如何从实际问题中抽象数学问题、建立数学模型，再解决其它学科问题。在突破难点时，我注意：

1．使学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，教学生学会“数形结合”的研究方法，它直观、形象、好理解。

2．密切联系实际问题，注意观察生活。

二、学情分析

（1）从整体看，学生基础知识扎实，思维活跃，课堂参与意识较强，有良好的学习习惯，采取小组合作学习的方式，学生间相互评价，相互提问的互动活动氛围初步形成。基于这个班的学情，我通过学生讲解、学生自评、同学纠错、教师点评的模式，充分发挥学生的主观能动性。

1

（2）从学生已有知识的情况来看，他们已经对一次函数二次函数概念、图象、性质以及应用掌握较好，掌握了反比例函数的性质和图象和物理学科的一些简单知识，在物理学科中也掌握了力学和电学知识因此，本节课的难点是如何从实际问题中抽象数学问题、建立数学模型，再解决其它学科问题。

三、教法和学法分析

在教学中力求呈现“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的过程，以实际问题为主线贯穿整个教学，强调对具体问题的分析、抽象，渗透数学建模思想。选用贴近学生生活的实际问题，激发学生学习兴趣，使学生体会反比例函数在现实生活中的作用，增强用数学的意识。在教法的选择上，我选用尝试探索和问题解决的方式，通过小组讨论、合作交流的教学方式，不仅加深了学生对反比例函数的理解，而且提高了学生分析问题的能力和语言表达的能力。

在学法指导上，鼓励学生自主探究与合作交流，让学生经历建立模型及应用的过程，形成对数学知识的理解和有效的学习策略。

教学手段：我采用计算机等多媒体教学，充分发挥其生动、形象、快捷的辅助作用，最大限度的使学生掌握和理解知识。

四、教学过程

一、创设情境，引入新知

怎样快速省力的开启易拉罐瓶子

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡。也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂。

为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！你认为这可能吗？为什么？

教师提出问题，学生思考问题，教师引出利用杠杆原理解决问题。

从学生的实际出发，用他们熟悉和感兴趣的问题情境引出学习主题，并制造悬念，引起学生学习的兴趣。

二、典型例题，

理解新知

活动一

展示问题1：几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0.5米，设动力为F，动力臂为L。回答下列问题：

(1)

动力F与动力臂L有怎样的函数关系? (2)当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂为1米、1.5米、2米、3米的撬棍,你能得出他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？

动力臂L 1 1.5 2 3 动力F

教师提出问题，学生独立思考，领会实际问题的意义，体会问题中各变量之间的依存关系，教师引导启发学生建立反比例函数模型。

教师引导学生从函数解析式、反比例图象和性质、表格几个方面解释。

在数学课上引用一个物理力学的实际问题，一下子抓住了学生的猎奇心理，激发了他们的学习兴趣；最后落实到运用数学来解决，学生可以体会到数学的基础性和重要性，激发学生求知的热情。

利用反比例函数的变化规律解释实际生活中一些问题。

2

（4）从上述的运算中我们观察出什么规律？

（5）若想使动力F不超过题（2）中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多少?

(6) 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头呢？（支点不变）

（7）地球重量的近似值为610牛（即为阻力），假设阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计该用动力臂为多长的杠杆才能把地球撬动？

教师展示问题，学生认真审题，独立完成。

深入挖掘动力臂L与动力F又有怎样的函数关系呢? 待定系数法解决函数问题。

先由学生独立思考，然后小组交流，教师和学生合作完成活动。

举一反三，函数模型未变,但两个量的角色发生变化，深入探究，体会其中的变与不变的函数思想。

问题的第（6）问与课题引入相呼应，增加了课题的趣味性。使学生熟练利用反比例函数解实际问题的方法。

活动二

在物理学上，由电学知识知道：电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）25u2有这样的关系式P=

。现有一个电加热器，电阻是可调节的,其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏,R这个用电器的电路图如图所示.

（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系?

（2）用电器输出功率的范围多大?

思考：结合本例，想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？

教师解释功率是什么，范围为110～220欧姆的含义，帮助学生理解题意。学生相互讨论，协作解决问题（2），请学生代表汇报他们讨论的结果，教师作适时、适当的引导和指导。

教师画出草图，引导学生从图象上理解，培养数形结合思想。

各小组同学发言，最后师生共同小结。

从学生的实际出发，用他们熟悉和感兴趣的问题情境引出问题，促使学生展开数学探究，展现数学与现实生活及其他学科的综合，突出“数学化”的过程，让学生体验数学知识的科学性、工具性、应用性。

设置思考题是为了培养学生学以致用的能力，即用所学知识解释现实世界中实际问题的能力，增强学生的学习兴趣。

三、归纳小结，

深化新知

（1）用反比例函数解决实际问题的基本过程？

（2）本节课你有哪些收获？

四、达标检测

，巩固新知

1.用一根杠杆撬一块重力为10000N的大石头，如果动力臂为160cm，阻力臂为20cm，则至少要用________的力才能把石头撬动． 2.在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V=200时，p=50，

则当p=25时，V=

3

3.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二

氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改333变，密度ρ（单位：kg/m）是体积V（单位：m）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m时，气体的密度是（

） 333 3 A．5kg/m B．2kg/m C．100kg/m

D．1kg/m

4.一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（

） A．不小于4.8Ω

B．不大于4.8Ω C．不小于14Ω D．不大于14Ω

5．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．

⑴求这个反比例函数的表达式；

⑵当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？

五、板书设计

17.2 实际问题与反比例函数

例题：阻力×阻力臂＝动力×动力臂

（1）解：FL=1200×0.5=600 2600(L0) 2. P220 F=RL600由（1）可知FL=600，得F=， l600因为F≤200，即≤200，得L≥3， lK（5）法1：设：F=(L0)，则 L750(L0) K=500 ×1.5=750 F=L六、设计说明

为了完成本节课的教学目标，我把教学过程分为五个环节，分别是：创设情境，引入新课——尝试探索，建立模型——应用知识，培养能力——课堂小结，回顾反思——分层作业，巩固新知。

1.创设情境，引入新课

用古希腊科学家阿基米德的名言：给我一个支点，我可以撬动地球！提出问题，引起学生思考问题。目的是从学生的实际出发，用他们熟悉和感兴趣的问题情境引出学习主题，并制造悬念，引起学生学习的兴趣。

2．尝试探索，建立模型

设计五个小问题，便于学生循序渐进。在第（2）小题中，利用表格形式呈现，学生不难猜测出动力臂与动力的关系，还让学生体验了“实验—猜想—验证”过程；在第（3）小题中，引导学生用函数观点来处理问题并作出解释，如用撬棍撬重物时，动力臂越长越省力，我通过引导学生从

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反比例函数解析式、性质、图象、表格四个角度解释，学生明确了用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，使学生体会学科知识的联系与综合运用。

第4个问题中，利用反比例函数的性质就可以将不等关系转化为相等关系来解决问题，体会其中的变与不变的函数思想。

第5个问题与上题有所不同，上题知道反比例函数的常数K，这道题不知道常数K，还需要确定反比例函数中的常数K。这时，我及时总结一下解题思路，如何从实际问题到反比例函数（模型）？分析实际问题中变量之间的关系，当两个变量之积等于常量时，这两个变量成反比例关系，只要确定常数K，便可以建立反比例函数模型（即确定反比例函数解析式）。

3、运用提高，形成技能

本环节主要是让学生学会从图象上获取有用的信息，利用这些信息帮助解决实际问题，所以本题中没有直接给出点的坐标，而是要求学生从图象上求出点的坐标，而后求出反比例函数。第3问求R的变化范围，我在教学中，引导学生从直观图象出发，发现L与R的变化趋势，这样为解决该问题提供了直观思维活动空间。

问题3实际上是一个电学知识问题，目的是让学生通过学习会用数学的眼光看待生活，而且会用数学原理来解释生活中的现象，如电风扇调速器、收音机音量调节器等等。学生在学习中积极性很高，体验了数学的应用价值。

本环节，我力争让学生经历数学应用过程，关注对问题的分析过程。在给出问题时，师生先分析，将实际问题置于已有知识背景之中，用数学知识重新解释这是为什么？可以看作什么？逐步引导学生用数学的眼光考察实际问题，体会学科知识的整合。

4、总结反思，拓展升华

①反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，所以我们要注重跨学科间的整合。

本节课，我组织学生归纳了反比例函数解决物理实际问题基本模型有三个：

（1）杠杆定律：动力×动力臂=K（K是常数且K＞0），即变量动力与动力臂成反比例关系。

（2）当电压U一定时，输出功率P与电阻R成反比例关系。

（3）欧姆定律：IR=U。当电压一定时，电流强度与电阻成反比例关系。

②数学来源于生活,生活中处处有数学，我们要学会用数学的眼光看待生活。学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中较常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进对物理知识的理解和探索。

③利用构建的数学模型、函数思想解决这类问题，要注意体会数形结合及转化的思想方法，要充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。

5、分层作业、巩固创新。

我设计了二种不同类型的作业：

巩固性作业是让学生巩固本节课所学，撰写小论文“物理中的反比例函数”是对本节课的进一步延伸，为学有余力的同学提供更大的思维发展空间。

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