相似多边形获奖说课稿

第课时

1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.

2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.

1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.

2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.

1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.

2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.

3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.

【重点】

能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.

【难点】

三角形相似判定定理的证明过程.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P32~34.

导入一:

【复习提问】

(1)证明三角形相似的方法是什么? (三角形相似的定义、平行线证明三角形相似) (2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法? (对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL) (3)全等三角形与相似三角形有什么关系? 导入二:

【课件展示】

欣赏图片.

【导入语】

图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.

[设计意图]

通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫;展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.

[过渡语]

对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢? 一、三边法证明三角形相似

思路一

类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形.

【动手操作】

(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.

【学生活动】

通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.

(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?

【学生活动】

学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.

(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?

【课件展示】

如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中, ==.求证△ABC∽△A'B'C'.

【教师引导分析】

(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似? (平行线证明三角形相似) (2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似? (在A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E) (3)能否证明△A'DE与△A'B'C'相似? (根据平行线分线段成比例基本事实可证明) (4)根据已知条件△ABC与△A'DE是否全等?(SAS) (5)尝试给出定理的证明过程.

【课件展示】

证明:如图所示,在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB,

过点D作DE∥B'C',交A'C'(或A'C'的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'.

∴

==,

又

∴

==,A'D=AB,

=,=,

∴DE=BC,A'E=AC.

∴△A'DE≌△ABC, ∴△ABC∽△A'B'C'.

(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.

【课件展示】

判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.

==,∴△ABC∽△A'B'C'.

【几何语言】

如图所示,∵

思路二

(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.

(2)证明你的猜想.

如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中, ==.求证△ABC∽△A'B'C'.

【教师引导】

除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?

【师生活动】

学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程.

(证明过程同思路一)

(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示.

【课件展示】

判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.

【几何语言】

如图所示,∵ ==,∴△ABC∽△A'B'C'.

[设计意图]

通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.

二、两边及夹角法证明三角形相似

[过渡语]

类比证明三角形全等的方法,我们能用SAS证明三角形相似吗?

动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想.

(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程.

(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论.

【师生活动】

学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.

【课件展示】

判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中, =,∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.

证明:如图所示,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'.

∴

=,

=,A'D=AB,

又

∴

=,

∴A'E=AC.

又∵∠A=∠A', ∴△A'DE≌△ABC, ∴△ABC∽△A'B'C'.

=,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.

【几何语言】

如图所示,∵

【追加提问】

在△ABC和△A'B'C'中, =,∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?

【师生活动】

学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.

[设计意图]

学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.

三、例题讲解

(教材例1)根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.

(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=24 cm;

(2)∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.

〔解析〕

(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.

解:(1)∵

∴

==,==,==,

==,∴△ABC∽△A'B'C'.

=,==,

(2)∵

∴ =.

又∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.

[设计意图]

通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.

[知识拓展]

(1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.

(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.

(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.

(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.

(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.

1.三边成比例的两个三角形相似.

2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

1.若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1,下列结论正确的是

(

)

A.△ABC与△A1B1C1的对应角不相等

B.△ABC与△A1B1C1不一定相似

C.△ABC与△A1B1C1的相似比为

D.△ABC与△A1B1C1的相似比为2

解析:△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍,则两个三角形的对应边成比例,且比值为,由三边对应成比例的两个三角形相似,可得△ABC∽△A1B1C1,且相似比为.故选C.

2.如图所示,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

解析:由题意得AB=2,BC=

,AC=

,A中三角形的三边长分别为1,

,2

,三边不对应成比例,A错误;B中三角形的三边长分别为1,

,

,则有==

,故B正确;C中三角形的三边长分别为3,

,

,三边不对应成比例,故C错误;D中三角形的三边长分别为2,

,

,三边不对应成比例,故D错误.故选B.

3.下列条件中,能判定△ABC相似于△DEF的有

(

) ①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠D=45°,DE=16,DF=40; ②AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40; ③∠A=47°,AB=15,AC=20,∠D=47°,DE=28,DF=21.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

解析:①中

=,=,所以≠,所以△ABC

与△DEF不相似;②中

=,=,=,所以==,所以△

ABC∽△DEF;③中 = , = ,所以 ≠ ,所以△ABC与△DEF不相似.故选B.

4.如图所示,在△ABC中,D,E分别在AB,AC边上,且

解析:∵

==,BC=5,则

DE=

.

==,∠A=∠A ,∴△ABC∽△ADE, ∴===, ∵BC=5,∴DE=.故填.

5.根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.

(1)∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A'=40°,A'B'=16,A'C'=30; (2)AB=10,BC=12,AC=15,A'B'=1.5,B'C'=1.8,A'C'=2.25.

解:(1)∵AB=8,AC=15,A'B'=16,A'C'=30, =,

∴

又∵∠A=∠A'=40°,∴△ABC∽△A'B'C'.

(2)∵AB=10,BC=12,AC=15,A'B'=1.5,B'C'=1.8,A'C'=2.25,

∴ ==,∴△ABC∽△A'B'C'.

第2课时

1.三边法证明三角形相似

2.两边及夹角法证明三角形相似

3.例题讲解

例题

一、教材作业

【必做题】

教材第42页习题27.2第3题.

【选做题】

教材第44页习题27.2第13题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP相似的是

(

)

2.在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是

(

) A.18 cm

B.21 cm

C.24 cm

D.19.5 cm 3.如图所示,与左图中的三角形相似的是

(

)

4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角

(

) A.都扩大为原来的3倍

B.都扩大为原来的6倍

C.都扩大为原来的9倍

D.都与原来相等

5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是

(

)

A.①与②相似

B.①与③相似

C.①与④相似

D.②与④相似

6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1, =,可得出△ABC

△A1B1C1,理由是

.

7.△ABC的三边长分别为2,

,

,△A1B1C1的两边长分别为1和

,当△A1B1C1的第三边长为

时,△ABC∽△A1B1C1.

8.已知线段AB,CD相交于点O,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD=

时,AC∥BD.

9.如图所示,已知 ==,∠BAD=20°,求∠CAE 的大小.

10.如图所示,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.

(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.

【能力提升】

11.如图所示,△ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:①AP∶AC=AC∶AB;②AC2=AP·AB;③AB·CP=AP·CB.能满足△APC和△ACB相似的有

(

) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

12.如图所示,D是∠ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,则BC的长为

cm.

13.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,△ADE与△MNC相似?

【拓展探究】

14.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0

【答案与解析】

1.C(解析:△MNP是等腰三角形,底角是75°,则顶角是30°,C中三角形与△MNP三角对应相等,且夹30°角的两边对应成比例,所以两个三角形相似.故选C.) 2.B(解析:根据题意,这两个相似三角形的相似比是15∶5=3∶1,因此所求最长边长是63÷3=21(cm).故选B.) 3.B(解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为

,2

,

,所以三边之比为1∶2∶

,A中三角形的三边长分别为2,

,3

,三边之比为

∶

∶3,故本选项错误;B中三角形的三边长分别为2,4,2

,三边之比为1∶2∶

,故本选项正确;C中三角形的三边长分别为2,3,

,三边之比为2∶3∶

,故本选项错误;D中三角形的三边长分别为

,

,4,三边之比为

∶

∶4,故本选项错误.故选B.) 4.D(解析:若三角形的每条边都扩大为原来的3倍,则两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似,由相似三角形的对应角相等可得三角形的每个角都与原来相等.故选D.) 5.B(解析:∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD(对顶角相等),∴①与③相似.故选B.) 6.∽

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

7.

(解析:由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为

,故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷

=

.故填

.) 8.6(解析:因为两条线段相交,对顶角相等,所以 =时,△AOC∽△BOD,所以∠A=∠B,所以 AC∥BD,故此时

= ,

所以OD=4.所以CD=CO+OD=2+4=6.故填6.) 9.解:∵ ==,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°.

=时, 10.解:(1)∵△PCD是等边三角形,∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠PCA=∠PDB=120°,∴当△ACP∽△PDB,即 =,∴当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB. (2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.

11.B(解析:因为∠A是△APC和△ACB的公共角,所以夹这个角的两条边对应成比例时,这两个三角形相似,所以AP∶AC=AC∶AB,即AC2=AP·AB.故选B.) 12.9.6(解析:∵△ABD∽△DBC,∴ =,∴BD2=AB·BC,∵AB=15 cm,BD=12 cm,∴BC=9.6 cm.故填 9.6.)

13.解:设CM的长为x.在Rt△MNC中,∵MN=1,∴NC=

-

,①当Rt△AED∽Rt△CMN时,有解得x=或x=-(不合题意,舍去),②当Rt△AED∽Rt△CNM时,有

=,即=

-

, =,即

-

=,解得x=

或x=-(不合

题意,舍去),综上所述,CM=或

时,△AED

=,又 与△MNC相似.

- ,∴t=1.②当△

14.解:①当△BPQ∽△BAC时,易知 BP=5t cm,QC=4t cm,AB=10 cm,BC=8 cm,∴ = BPQ∽△BCA时,易知 = ,∴

= ,∴t= .∴t=1或 时,△BPQ与△ABC相似.

-

本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层层深入分析证明定理的思路,降低了学习难度,再通过小组合作交流完成定理的证明过程,学生在课堂上思维活跃,合作意识较强,顺利完成判定定理1的证明,为探究相似三角形的判定定理2打下了基础,降低了难度.在整个教学过程中注重学生思维能力的提升及知识的形成过程.

本节课的难点是判定定理的证明,教学过程中教师以小问题的形式,引导学生分析证明方法,利于突破难点,但是在实际操作中,学生第一次遇到截取、作平行线这样的辅助线,不容易理解和掌握,在分析辅助线的作法时有些粗糙,造成课堂气氛只是部分学生活跃,在判定定理2的证明过程中部分学生出现困难,不能类比判定定理1的证明顺利完成.

本节课的重点是相似三角形的判定定理,难点是定理的证明,在这类探究定理的课程中,不能错误地认为学生记住定理,能应用定理进行证明就可以了,应该注重定理证明的探究过程,注重知识的形成过程.在定理的探究活动中,发展学生数学思维,提高学生能力,同时注重培养数学思想和数学方法的应用,如本课时中用到的类比思想、由特殊到一般的方法.在教学设计中还要注重强调学生书写规范,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习态度.

练习(教材第34页) 1.解:(1)△ABC∽△A'B'C'.理由如下:有两组对应边成比例,并且相应的夹角相等的两个三角形相似. (2)△ABC∽△A'B'C'.理由如下:有三组对应边成比例的两个三角形相似.

2.解:(1)相似. (2)相似.(理由略) 3.解:另外两条边长应为

cm,3 cm或

cm,

cm或

cm,

cm,共3种制作方案.

(1)相似三角形的判定,是在原来研究三角形全等基础上的深入.既是全等三角形研究的继续,也为后面测量和研究三角函数做了铺垫.因此必须熟练掌握三角形相似的判定,学会灵活运用相似三角形的判定.

为了使学生更好地掌握这一部分内容,遵循启发式教学原则,用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导学生操作、观察、探索、交流、发现,使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容解决实际问题的过程,真正把学生放到主体位置.

(2)本节课的难点是两个判定定理的证明,突破本节课的难点,在于两个构造,即构造相似三角形和全等三角形,依据是上节课的平行线判定三角形相似,教师引导学生通过作辅助线,充分利用教科书提供的素材和活动,精心设计让学生层层深入思考的小问题,让学生经历观察、思考、动手操作等活动,有效地突破难点,同时发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验.培养学生有条理的思考,表达和交流的能力,并且在直观操作的基础上,将直观与简单推理相结合,注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解,能运用自己的方式有条理地表达推理过程,为以后的证明打下基础.

如图所示,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证△ADQ∽△QCP.

〔解析〕

要证两个三角形相似,根据正方形的性质可得∠C=∠D=90°,所以只需要证明夹这两个角的两条直角边对应成比例即可,即需证明 =,由 BP=3PC,Q是CD的中点,且BC=DC可得.

证明:在正方形ABCD中,AD=DC,∠C=∠D=90°,

∵Q是CD的中点,

∴ =2.

∵=3,∴=4.

又BC=2DQ,

∴

∵ =2.

=,∠C=∠D=90°,

∴△ADQ∽△QCP.