回顾与思考教学实录

一元二次方程复习

【学习目标】

1.理解并掌握一元二次方程的有关概念．

2.能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理．

3.熟悉掌握列一元二次方程解实际问题的一般步骤．

【学习过程】

一、正确理解一元二次方程的定义．

(一元二次方程的定义满足的三个条件：（1） （2） （3） )

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）

A.axbxc0 B.2112 C.x22xy21 D.3(x1)22(x1)

2xx2.若方程(m1)x2mx10是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）

A.m0 B.m1 C.m0且m1 D.m 为任意实数

3.方程(m2)xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．

4.已知关于x的一元二次方程x24xk22k30的一个根为0， k的值是 ，方程的另外一个根是 ．

5.若m,n是方程x2x10的两根，则a= ．

(7m214ma)(3n26n7)8，26.根据下列表格中二次函数yaxbxc的自变量x与函数值y的对应值，判断方程2ax2bxc0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）

x

yax2bxc

Ａ．6x6.17

Ｃ．6.18x6.19

26.17 6.18 6.19 6.20 0.03

0.01

Ｂ．6.17x6.18

Ｄ．6.19x6.20

20.02

0.04

7.设a，b是方程xx20090的两个实数根，则a2ab的值为

（ ）

A．2007 2B．2008 C．2009 32D．2010 8.若xx1=0，求代数式x2x7的值.

二、一元二次方程都有哪些解法？（解一元二次方程的方法： 、 、 、 ）

1

1.将方程x+4x+1=0配方后，原方程变形为（ ）

A.(x+2)=3 B.(x+4)=3 C.(x+2)=-3 D.(x+2)=-5 2.填上适当的数，使等式成立：x5x

＝(x－

)2．

222222x23x20，则x ．

3.若分式x14.如果方程(xa)2b有实数解，那么b的取值范围是 ．

5.选择适当的方法解下列方程：

（1）(5x1)23(15x)

（2）x+2=23x

（3）x210x90

2

（4）4(x5)2360

三、运用b2-4ac判断一元二次方程根的情况，及求一些字母的取值范围．

(用=b4ac判断一元二次方程根的情况，

axbxc0(a≠0) ①当 时方程有两个不相等的实数根；②当 时方程有两个相等的实数根；

③当 时方程没有实数根．) 1.一元二次方程xx20的根的情况是（ ）

A.有两个相等的实数

B.有两个不相等的实数根

C.无实数根

D.无法确定

2.若关于x的方程kx6x90有实数根，则k的取值范围为 ．

23.若关于x的一元二次方程x2x2k0有两个相等的实数根，则该方程的根为2222x1x2

．

4.关于x的一元二次方程(m1)x2x30

（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根．

（2）当m取何值时，此方程有两个相等的实数根．

2 2

（3）当m取何值时，此方程没有实数根．

解：

5.证明：不论k为何值，关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0总有实数根．

四、掌握一元二次方程根与系数的关系，并会运用这一关系解决有关问题.

2（对于关于x的方程axbxc0（a≠0，a、b、c是常数，0）的两根x1、x2与

系数a、b、c之间的关系是x1x2= ，

x1x2=

.

21.设一元二次方程x2x40的两个实数根为x1,x2，则x1x2=

．

2.写一个关于x的一元二次方程，使它有两个根为1和6，你写出的方程是

．

3.若一个三角形的三边长均满足方程x26x80，则此三角形的周长为 ．

4．设x1、x2

是一元二次方程x+4x－3=0的两个根，2x1(x2+5x2－3)+a =2，则a= ．

5.方程x-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x1-1）=______．

6.设x1，x2是一元二次方程x3x20的两个实数根，则x123x1x2x22=______．

7.已知一元二次方程x2222231x310的两根为x1、x2,则11_______. x1x28.已知关于x的方程x22(k3)xk24k10．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程x22(k3)xk24k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y

五、列一元二次方程解实际问题：

（①平均增长率或降低率（考点）a(1x)2m的图象上，求满足条件的m的最小值．

xb

②与面积有关的应用题）

3

1.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元．设平

均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ ）

A.580(1x)21185

B.1185(1x)2580

C.580(1x)21185

D.1185(1x)2580

2.某商场四月份的营业额为a万元，五月份的营业额为1.2a万元，如果按相同的月增长率计算，该商场四、五、六月份的营业总额为 万元．

3.在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有x支队，则可得方程

. 4.一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．

5.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：

⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

⑶商店想在月销售成本不超过10000元时，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

⑷商店想使得月销售利润达到最大，销售单价应定为多少？

六、练习：

一、填空或选择

1.下列方程中是一元二次方程的有 .

4

4y222①9x=7x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x-2y+6=0⑤2( x+1)=10

⑥

2-x-1=0 x322.已知一元二次方程（m1）x27mxm23m40有一个根为零，则m= ．

3.已知关于x的一元二次方程（m1）x210有实数根，则m的取值范围是 ． 4.某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，且月增长率为x，则可以列出方程为 . 5.以 2+3与2-3为根的一元二次方程是 ．

6.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x120

的一个根，则菱形ABCD的周长为 . 227.方程x-3x+6=0与方程x-6x+3=0的所有根的乘积为 ．

8.设x1,x2是一元二次方程x23x20的两个实数根，则2x1-3x1+x2的值______．

229.已知实数a、b满足条件a-7a+2=0，b-7b+2=0，且a≠b，则222ba ．

ab10.已知：m、n为整数，关于x的二次方程x+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，22x+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x-(m-4)x+n+1=0没有实数根，则m= ，n= ．

211.若关于x的方程x-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函

数y=(1+2k)/x的图像的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，则满足上述条件的k的整数值为 . 2212.关于x的方程kx+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是（ ） A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根

13.已知a，b，c是△ABC三条边的长那么方程cxabx2c0的根的情况是（ ）

4A.无实根 B.有两个不相等的正实根 C.有两个不相等的负实根 D.有两个异号实根

二、解答题

214.关于x的方程kx+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 2（3）若方程的两个实数根x1和x2满足x12x20，求k的值.

2215.已知关于x的方程x+2(a-3)x+a-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0. (1)求a、b的值；

2(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根．

（3）若设（2）中方程的两根为x1和x2，且x1x22，求k值．

5

16.已知关于x的一元二次方程x221mxm2的两实数根为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

22（2）设yx1，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

x2

17.已知：关于x的一元二次方程kx+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．

（1）用含k的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是x1，x2（其中x1x2），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y=

18.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长．

19.长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案

6 2b的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．

x

以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？

20.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同的时间内，若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=xcm.

⑴当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边

（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

⑵当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的

四边形是平行四边形；

⑶以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？

如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由. 2APND

BQM C

21.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．

（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．

7