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第一章

勾股定理

回顾与思考

教学目标

知识与技能：让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．体会数形结合的思想。

过程与方法：在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．在让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．

情感态度与价值观：在对本章知识的反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．

教学重难点

重点：回顾思考勾股定理及其逆定理的获得和验证过程，梳理本章知识内容，总结归纳典型题目。

难点：在勾股定理及其逆定理的应用中，体会数形结合等数学思想。

教学方法

交流合作，反思探究

课前准备活动

学生利用课余时间分小组归纳总结本章知识内容，在练习本上整理出本章知识框架图

教学过程

第一环节 情境导入

活动一：展示2002年在我国北京召开的第24届国际数学大会的会徽-------赵爽弦图。

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已1

深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．

设计意图：从历史的角度引入新课，更能激发学生的探究热情和求知欲，为下一环节奠定了良好基础．

第二环节：知识结构梳理

活动二：第1—7题由学生独立思考完成，小组代表展示.通过以上问题的交流，各小组完善本组建立的本章的知识结构图，每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a,b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________c． 2．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a,b,c，则2c=_________，b=_________，c=_________． 3．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a,b,c三边满足___________，则△ABC为___________． 4．勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．

（开展一个小游戏，常见勾股数接龙。3.4.5；6.8.10；5.12.13；8.15.17；7.24.25；9.12.15；9,。40.41.）

5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？

从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，除过直角，剩2

下的两个锐角互余；直角三角形中30的角所对的直角边时斜边的一半． 7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．

（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．

例如：①在△ABC中，B75，C15，根据三角形的内角和定理，可得A90，根据定义可判断△ABC是直角三角形．

②在△ABC中，A11BC，由三角形的内角和定理可知，A30，23B2A60，C3A90，△ABC是直角三角形．

（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）． 例如：①△ABC的三条边分别为a7，b25，c24，而222222ac72462525b，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但这里要注意的是b所对的角B90．

②在△ABC三条边的比为a:b:c5:12:13，△ABC是直角三角形．

活动三：知识框架展示（学生多媒体展示本组框架图，后附本章框架图）

设计意图：

复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系．通过学生相互交流，整理知识框图复习本章知识点，学生既有独立思考的空间，又有合作交流的体验。

第三环节：合作探究

内容：

探究一：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．

解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．

注意事项：

因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，3

因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．

探究二：利用勾股定理求图形面积：

1．求出下列各图中阴影部分的面积．

2250.360.64(1)144(2)2 1

图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）

_

3

()

图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）

图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）

c10cm，求Rt△ABC的2．

已知Rt△ABC中，C90，若ab14cm，面积．

解：SABC11ab2ab241222(ab)(ab)4122(ab)c41(142102)424.

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度

1. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ab)(ab)c2，则（ ）. （A）A为直角 （B）C为直角 （C）B为直角 （D）不是直角三角形

解：a2b2c2，∴a2b2c2．故选（A）. 注意事项：

因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.4

该题中的条件应转化为a2b2c2，即a2b2c2，因根据这一公式进行判断．

2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各组条件，判定△ABC的形状．

（1）a41，b40，c9；

2222（2）amn，bmn，c2mn（mn0）．

解：（1）（2）均为直角三角形．

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：

1.如图所示的一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39 m，BC=36 m，求这块草坪的面积．

ACDB解：连接AC，由勾股定理得AC=15m，再由勾股定理逆定理得∠ACB=90°，11所以草坪面积S1536912216（m2）．

222.B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM=8216（n mile），

乙船航行的距离为BP=15230（n mile）．

∵1623021156,3421156，∴BM2BP2MP2，

∴△MBP为直角三角形，∴MBP90，∴乙船是沿着南偏东30方向航行的．

注意事项：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理，其形式为“若a2b2c2，则C90．学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算．

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设计意图：通过对这几个问题的探究，综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，这种贴近生活的实例，训练学生解决实际问题的能力，通过学生的解答和讨论，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦．

第四环节：拓展提升

（备注：这一环节根据学生前面习题完成情况决定，如果前面几个类型题学生已经掌握，能较快熟练地解决，那就继续这一环节；如果学生前面题型仍存在较大问题，这一部分则留做课后思考，下一节处理。）

内容：

（一）利用勾股定理解决折叠问题

1.如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E．

（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；

（2）若AB4，AD8，求△BDE的面积

解：（1）△BDE是等腰三角形．因为∠EBD=∠CBD=∠EDB，所以BE=DE．

（3）设BE=DE=x，则AE=8x，在Rt△ABE中，由勾股定理得428xx2，解得x5．因此，SBDE2C'EADBC15410．

2（二）利用勾股定理寻找最短路径

2.装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装。如果电梯的长、宽、高分别是1.5m,1.5m,2.2m,那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条至少是多少米吗？

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3.如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点D离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A到点B，需要爬行的最短路程是多少？

设计意图：运用勾股定理可以解决多种实际问题，让学生体会生活中处处皆数学，并且使新知得到了巩固，能力得到了训练，认识得到了升华．

第五环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1.

通过这节课的学习，你获得了哪些收获？

2.

通过本节课的学习，你获得了哪些数学思想和方法

3.

你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？

4.

学习过程中你还有什么困惑？

设计意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法，，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．并赞叹我国古代数学的成就．

7

第六环节：布置作业

1．课本《复习题》．

2．思考题：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角A30，B90，BC6m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ m时，有DC2AE2BC2．

（答案为：14．）

3教学设计反思

本节课是复习课，利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题．勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．针对我班学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”，先由浅入深，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入，归纳知识--综合练习，应用知识—课堂小结三部分，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心．让学生自己绘制知识框架图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力．设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用．设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求．

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板书设计

回顾与思考

一

情境引入

二

本章知识结构框架图（多媒体展示）

三

合作探究

探究一：利用勾股定理求边长

探究二：利用勾股定理求图形面积

探究三：利用勾股定理及逆定理判定△ABC的形状或求角度

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用

四

拓展与提升

（一）利用勾股定理解决折叠问题

（二）利用勾股定理寻找最短路径

五

交流小结

六

布置作业

9

附：知识框架图

勾

股定

理

勾股定理题设：在RT△ABC中，C90

结论：a2b2c2

作用

（1）计算

（2）证明带有平方的问题

（3）其他实际应用

（1）无直角时，可作垂线构造直角三角注意

（2）斜边的平方等于两直角边的平方和

（先确定斜边）

勾股定理的逆定理思想方法：数形结合



题设：在RT△ABC中，abc

222结论：C90

作用

（1）判断一个三角形是否是直角三角形

（2）判断两线段垂直

（3）其他实际应用

注意

（1）先确定最大边

（2）较大边对的角是直角，不能认为

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