3.1 数系的扩充优秀教案设计

课

题：数系的扩充

教学目标：

1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i

2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律

3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)，理解并掌握复数相等的有关概念

教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点。复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用。

教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点。复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立。

教具准备：多媒体、实物投影仪

教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。

教学过程：

学生探究过程：

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N。

随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数。这样就把数集扩充到有理数集Q。显然NQ，如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集。

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集。

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1。由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位。并由此产生的了复数。

新课探究：

1.虚数单位i：

(1)它的平方等于-1，即

i1；

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

222. i与－1的关系：i就是－1的一个平方根，即方程x1的一个根，方x1的2另一个根是i

3.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

4. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式。

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

6.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。

7. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。

复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据。一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小。

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。

例题剖析：

例1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

小结：

例2.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．

解（）当1m1，即0m时，1z为实数；（2）当m10即,m时，1z为虚数；

m10（3）当,即m1时，z为纯虚数.m10小结：

推广：两个复数相等的充要条件

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

例3.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.

2x1y,51(3y)，所以x=2，y=4。

解：根据复数相等的定义，得方程组

课堂小结：

1.虚数单位i的引入；

2.复数有关概念：

布置作业：

课后作业：课本第105页

习题3.1

1 , 2 , 3