3.1 数系的扩充第二课时教案

课题：3.1数系的扩充

安礼祥

教材：苏教版选修1-2第3章

【教学目标】

1.知识与技能：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；

2.过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；

3.情感态度价值观：学习数学家们的锲而不舍的钻研精神以及不断追求完美的创新精神. 【教学重点】

数的概念的发展和数系扩成的过程，复数的概念

【教学难点】

虚数单位i的引进及复数的概念

【教学过程】

一、问题情境

（课前播放小学，初中课本中涉及的数的概念）

1．从小到大，我们认识了各种各样的数。进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？

2．你能用包含关系将这些数集“串”起来吗？（NZQR）

恩格斯曾经说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。”

如此高的评价，看来我们要好好体会其中的奥秘，最熟悉的地方往往也能发现亮丽的风景。

3．“”能换成“

Ø”吗？为什么？

这些数并不是从来就有，也不是从天而降的，任何事物的发生发展总是有原因的。

远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，创造了自然数，那么其它数呢？它们产生的原因是什么呢？（归纳学生的回答：原因之一——客观需求）

我们研究数，与数的运算是分不开的，数集只是包含了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不仅仅是数集的扩充，更是规则的完善，我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系，数系的扩充就是我们今天研究的课题。

二、学生活动

1．我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？（学生回答）

在自然数集中，方程x40无解；在整数集中，方程3x20无解；在有理数集中，方程x220无解.而在之前相当长的历史时期内，方程的解法始终被认为是代数研究的中心问题。

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2．这些问题是怎么解决的呢？——添加新数

添加新数，解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾，当然，在新的数集中，我们必须规定运算的法则。

11325比如，化成同分母后分子相加，原来整数集中的运算法则23666235和新的规则矛盾吗？235，不矛盾！

1113．每一次数系的扩充都要遵循这样的原则：①添加新数，原数集是新数集的子集；②在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用. 正是数学家们追求完美的理性精神，促使他们不断发现问题，解决问题，从而推动数学的发展。（原因之二——数学内因）

4．那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？方程x21的解是什么呢？

非负数可以开平方，负数只能开奇次方？现实的问题摆在眼前，如何才能解决？——添加新数

学生讨论：尝试添加新数，求解方程x21,x22,(x1)21. 事实上，对二次方程的研究早在四千多年前就开始了，求根的算法很早就得到了人们的认同，但按照算法，并不能求解所有的所有的实系数二次方程。

1484年，法国数学家舒开在《算术三篇》中解方程x2-3x+4=0得到的根是x394，他声明此根是不可能的. 241545年，意大利数学家卡尔丹在《大术》中提到了这样的问题：“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”.他认为把答案写成“515”和“515”就可以满足要求.在很长时间内，数学家都认为这样的式子没有意义，是虚构的，想象的。

发现了问题却没法解决总是遗憾的。

1777年，瑞士数学家欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数. 1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i通行于世. 三、数学建构

1．引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：

(1)i2=-1;

(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有加法、乘法运算律仍然成立. 2．复数

按照上述规定，添加的新数仅仅是i吗？

由于减法、除法是加法、乘法的逆运算，根据规定，i与实数b相乘，再与实数a相加，由于满足加法、乘法的交换律，从而可以把结果写成a+bi(a,b∈R)的形式. 思考：这些数之间如果进行四则运算会是什么形式呢？

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数，全体复数组成及集合叫复数集，用

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C来表示. 3．复数的分类

根据数系扩充的原则，实数集是复数集的真子集，a+bi(a,b∈R)

满足什么条件就是实数呢？

b=0。当b≠0时，这样的数才是新添加的，与“实”相对，1637年，法国数学家笛卡尔给这些数起的名字叫“虚数”，只是当时，还没有写成这样的形式，当然，我们也不难理解为什么欧拉会提出用i来表示虚数单位，（imaginary的首字母）。实数b是否为0决定着复数的类别，我们称它为复数的虚部，而实数a称为实部。

就如同实数可以用a,x等字母表示一样，复数既然是数，同样可以用一个字母表示，通常用字母z表示。

4．口答：

6i-2 实部是________，虚部是______________；

-3i 实部是________，虚部是______________；

（当b≠0且a=0时，这样的虚数我们称之为纯虚数。）

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实部是________，虚部是______________. 5．复数相等的充要条件

实部为0，虚部为-3的复数可以写成0-3i，延用实数相等的记号，我们记作-3i=0-3i；实部为5，虚部为0的的复数可以写成5+0i，即5=5+0i 一般情况下，复数a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)a=c且b=d. 练习：已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y. 四、回顾总结

复数的引入解决了负数开平方的问题，那么开四次方呢？方程x41的根能用复数表示吗？留给同学们课后思考。

在后面的几节课中，我们会继续研究复数的运算及其几何意义。虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但随着进一步的研究，尤其是当复数的几何解释出现之后，在解决实际问题中得到了广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固下来。

复数的引入实现了中学阶段的最后一次扩充。

最后让我们回顾一下今天研究的内容：

1．数系的扩充需要遵循哪些原则？

2．实数系是怎样向复数系扩充的？

3．复数如何分类？

4．复数相等的条件是什么？

五、课后作业

1．课本P60习题1-4 2．思考：

①引进i能解决所有负数开方的问题吗？方程x41的解能用复数表示吗？

②两个复数相除的结果能写成a+bi(a,b∈R)的形式吗？

3．利用网络等资源了解复数的实际应用.

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