3.1 数系的扩充优秀教案案例

数系的扩充与复数的引入

一、知识梳理

1.数系的扩充

数系扩充的脉络是： → →

，用集合符号表示为 ，实

际上前者是后者的真子集. 2.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a+bi (a,b∈R)的数叫复数，其中a,b分别

是它的 和 .若 ，则a+bi为实数，

若 ，则a+bi为虚数，若 ，则a+ bi为纯虚数. (2)复数相等：a+bi=c+di (a,b,c,d∈R). (3)共轭复数：a+bi与c+di共轭 (a,b,c,d∈R). (4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面. 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点表示

；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各

象限内的点都表示 . 复数集C和复平面内 组成的集合是一一对

应的，复数集C与复平面内所有以 为起点的向

量组成的集合也是一一对应的. （5）复数的模

向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作 或

，即|z|=|a+bi|= . 3.复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则

①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; ②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ; ④除法：

（2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、

z3∈C，有z1+z2= ，（z1+z2）+z3= . 二、例题分析

例1 实数m分别取什么数值时，复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是：

(1)实数；(2)虚数； (3)对应点在直线x+y+5=0上.

【例2】已知x,y为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4- 6i，求x,y.

变式训练

设x,y∈R且

则x+y= .

例题3 若z∈C，且|z|=1，求

|z-i|的最大值. 解 方法一 设z=a+bi(a,b∈R)，

则|z-i|= ∵a2+b2=1.∴|z-i|= 又∵|b|≤1，∴0≤2-2b≤4, ∴当b=-1时，|z-i|=2为最大值. 方法二 因|z|=1，所以点Z是单位圆x2+y2=1上

的点，

|z-i|= 表示点Z与点（0，1）之间

的距离，当点Z位于（0，-1）时，|z-i|有最大值2.

三、

感悟提高

高考动态展望

高考中常以填空题的形式进行考查复数的概念、代

数运算、几何意义等，属容易题. 方法规律总结

1.注意复数a+bi是实数、虚数、纯虚数及两复数相

等的充要条件，注意实数与复数的区别与联系.数

的概念扩展为复数之后，实数集中的一些运算性

质、概念、关系就不一定适用了（如不等式的性

质、绝对值的定义、偶次方非负等）. 2.复数运算可类比多项式的运算来加深理解和记忆. 如复数加、减运算等同于多项式合并同类项，乘

法等同于多项式相乘，只是注意i2=-1，除法运算

的基本思想是分母实数化（这类似于根式运算中

的分母有理化），复数加、减法几何意义本质上

是向量加、减运算等. 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. 4.复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重 要的思想方法. 四、当堂检测

（2009·淮南调研）当实数m为何值时，复数

（m2-8m+15）+(m2+3m-28)i在复平面中的对应

点:(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上.