1.1 回归分析的基本思想及其初步应用PPT专用课堂实录内容

1.1非线性回归问题

知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。

能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。

情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究

教学过程：

一、复习准备：

对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课：

1. 探究非线性回归方程的确定：

1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程.

21

23

25

27

29

32

35 温度x/C

11

21

24

66

115

325 产卵数y/个

7 （学生描述步骤，教师演示）

2. 讨论1：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.

讨论2：若两个变量不呈线性相关关系，根据已学的函数知识，这些散点更像是集中哪个曲线的附近？

①

如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ②

根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数曲线或二次曲线的附近，模型为（1）指数函数4003002001000产卵数010203040温度曲线y=C1eC2x（其中c1,c2是待定的参数）（2）二次曲线yc3x2c4(其中c3,c4是待定的参数)，故可用这两个函数模型来拟合这两个变量，再用残差分析来比较拟合效果. （ⅰ）指数模型y=C1eC2x（其中c1,c2是待定的参数）

在上式两边取对数，得lnyc2xlnc1，再令zlny，则zc2xlnc1，而z与x间的关系如下：

X

21

23

25

27

29

32

35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 观察z与x的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.利用计算器算得a3.843,b0.272，z与x间的线性回归方程为z0.272x3.843，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为ye0.272x3.843. （ⅱ）二次函数模型yc3xc4(其中c3,c4是待定的参数)

令tx，则yc3tc4，则y与t间的关系如下：

t y

27654z321001020x30402441 7 529 11 625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325 - 1 -

y3503002502001501005000200400600800100012001400

观察y与t的散点图，可以发现变换后散点图并不分布在一条

直线的附近，因此不宜用用线性回归方程来拟合它，即不宜用

二次函数来拟合y与x之间的关系. ⑤以上结论还可以用残差分析得到：

残

2

23

11

-0.167

19.397

差

3

25

21

1.76

-5.835

表

4

27

24

-9.149

-41.003

5

29

66

8.889

-40.107

6

32

115

-14.153

-58.268

y 7

35

325

32.928

77.965

编号

1

x

y

e(1)

e(2)

21

7

0.52

47.7

由上表可得，指数模型误差较小，故用第一个模型拟合效果较好。

更严谨地可以用R来比较两个模型的拟合效果：模型（ⅰ）（ⅱ）的R分别约为0.98和0.80，故模型（ⅰ）的拟合效果好于模型（ⅱ）.

⑥

小结：

1.利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行.

其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题；

2.利用散点图，残差表，R确定拟合效果.

二、巩固练习：Q11 2 222某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

（x1-）

2（w1-）

2（x1-）（w1-）(y-46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

)

(y-)

108.8

- 2 -

表中w1 =1, ，

=1

哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（1）

根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=的最小二乘估计分别为：

u的斜率和截距

三

、作业布置：Q3 例3

- 3 -