小结教学设计

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：abba (2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc； ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc； ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab011

ab(6)乘方法则：ab0a(7)开方法则：ab0nnbn(nN*且n1)

anb(nN*且n1)

二、一元二次不等式axbxc0(a0)及其解法

2ax2bxc0

0

和

0

0

二次函数

yax2bxca(xx1)(xx2)yax2bxc

yax2bxc

a(xx1)(xx2)yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

bx1x2

2a

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集

x1,x2(x1x2)

无实根

xxxx1或xx2

x1xx2

- 1 - bxx

2a



R



注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式

顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a2b2ab2（当ab1122aba = b时取等）

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离 2、如果a0,则不等式：

|x|a|x|axa或xa

|x|aaxa

xa或xa

axa

|x|a3．当c0时，

|axb|caxbc或axbc，

|axb|ccaxbc；

当c0时，|axb|cxR，|axb|cx．

4、解含有绝对值不等式的主要方法：

①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

②去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法：|x|a (a0)axa，|x|a (a0)xa或xa．

（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

五、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0

f(x)0g(x)g(x)0②无理不等式：转化为有理不等式求解

- 2 -

f(x)0

定义域f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0 f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]

③指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb④对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0

logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)六、三角不等式： |a|-|b||ab||a||b|

七、不等式证明的几种常用方法

比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、数轴穿跟法:

奇穿，偶不穿

(x23x2)(x4)2例题：不等式0的解为（

）

x3A．－1

B．x<－3或1≤x≤2

D．x=4或x<－3或1≤x≤2 例题：求解不等式：|2x1||x2|4．

十、练习试题

1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）

1xyx25 A． B． C．tan D．2x2x

tanyxx242．若x,yR且满足x3y2，则3x27y1的最小值是（ ）

A．339 B．122 C．6 D．7

3．设x0,y0,Axyxy, B，则A,B的大小关系是（ ）

1x1y1xy A．AB B．AB C．AB D．AB

4．函数yx4x6的最小值为（ ） A．2 B．2 C．4 D．6

5．不等式352x9的解集为（ ）

A．[2,1)[4,7) B．(2,1](4,7] C．(2,1][4,7) D．(2,1][4,7)

- 3 -

6．若ab0，则a1的最小值是_____________。

b(ab)abbman, , , 按由小到大的顺序排列为 baambn7．若ab0,m0,n0，则8．已知x,y0，且x2y21，则xy的最大值等于_____________。

1111，则A与1的大小关系是_____________。

1010101122122211210．函数f(x)3x2(x0)的最小值为_____________。

9．设A11．求证：

xa2b2abab1

- 4 -