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分类计数原理与分步计数原理

教学目标：1.理解掌握分类计数原理和分布计数原理。

2．能够应用两个原理解决问题。

教学重、难点：

1.重点：能够应用两个原理解决问题。

2.难点：两个原理的联系和区别。

教学过程：

一．引入。

问题1

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

二．新课讲解

1.

分类计数原理

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类方法中有

m2 种不同的方法，，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

关于分类计数原理的几点注记：

⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；

⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；

N＝m1

＋m2

＋

…＋mn

⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．

2. 分步计数原理

完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第ｎ步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1

m2

…mn种不同的方法. 关于分步计数原理的几点注记

⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理

；

⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；

⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．

3.分类计数原理与分步计数原理的区别

分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．

三.例题讲解

例1

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。

（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法? 例2

一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 例3

要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

例4

有数字

1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位上的数字许重复）？

例5 :满足

AB={1,2}的集合A

,B共有多少种? 四.练习

1．

一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

2．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3

+ b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + ｃ5

)展开后共有项？

3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是(

)

A.

12

B.64

C.81

D.7 4、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有

（

）种

A.

510

B. 105

C.

50

D.

以上都不对

五.总结：

１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有

n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方

法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有

N= m1+ m2+… …+ mn

种不同的方法。

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …，做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有

N= m1×

m2×… …×mn

种不同的方法。

２．分类计数原理和分步计数原理的

共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；

不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一

不可，就用分步计数原理。