二 一般形式的柯西不等式教学实录与评析

人教A版高中数学选修4-5

第三讲

《二项式定理(一)》教学设计

授课教师 东莞高级中学 肖志军

【教学内容解析】

柯西不等式是人教A版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。

【学生学情分析】

本节课之前，学生已经基本了解的柯西不等式的向量形式及二维形式的柯西不等式，具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力，本节课主要利用归纳的学习方法，把二维形式拓展到三维和一般形式，因此需要创设一个循序渐进的环境，从向量的不等关系赋予坐标后，形成了各个维度的代数形式的柯西不等式，这种学习，水到渠成，符合学生的思维认知。让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处。

【教学目标设置】

依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

（一）教学目标

1、知识与技能：

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3. 情感、态度与价值观：

在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法，激励自我求真务实、勇于创新，培养科学探索精神，激发学习数学的热情.

（二）重、难点分析

重点：柯西不等式的一般形式以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的应用．

难点：一般形式的柯西不等式的证明．

【教学策略分析】

为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：

1．教法分析：新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 2．学法分析：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行归纳、类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。

1

3.教学手段：制作多媒体课件，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解． 【教学过程】

教学程序与内容

一.温故知新：

师：请同学们回顾一下上节课，柯西不等式的向量形式是什么？

生：设,为平面上的两个向量，则||||||， 师：同学们，等号成立的条件是？

生：当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立. 师：对，非常棒。 师：将平面向量

(a1,a2),(b1,b2)坐标化，代入就得到了二维形式柯西不等式的代数形式，同学们请说一说？

222生：(a1b1a2b2)(a1a2)(b12b2)

师生

互动

学生

回答

问题

老师

启发

引入

课题

教师提出由平面向量拓展到空间向量，由二维延伸到三维形式

引导学生

注意等号

成立的条件

设计

意图

把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

通过几个问题的层层递进，引导学生进行思考，激发学生的认知

这也为得到一般形式的的柯西不等式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

证明不时重点，采用课后合作完成. 师：柯西不等式的适用范围是？

生：全体实数R

二、引导探究，发现规律: 师：类比二维空间的柯西不等式，你能提出三维柯西不等式吗？ zy(b1,b2,b3)(b1,b2)(a1,a2)(a1,a2,a3)yoox

x

222222生：(a1b1a2b2a3b3)(a1a2a3)(b1b2b3)

师：同学们，等号成立的条件是？

生：当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立

三、归纳推理，形成新知:

师：类比二维、三维空间的柯西不等式，猜一猜n维空间的柯西不等式（即一般形式的柯西不等式）？

学生经过研究后，感知了研究方法22222生：(a1b1a2b2...anbn)(a1a2...an)(b12b2...bn) 和方向

师：同学们，等号成立的条件是？

由学生归纳生：当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号得出一般形成立

式的柯西不师：我们知道归纳推理的结论不一定正确，需给出证明. 等式

请同学们课后，小组合作给出证明方法。

2

（再提问）上一节课，我们学习了二维形式的柯西不等式，主要用途是什么？ 生：①求最值；②证明不等式. 师：那我们这节课学习的一般形式的柯西不等式的主要用途也是一样的，首先我们来看下面的例1 四、典例剖析：

例1：已知a1,a2,...,an都是实数, 求证：a12a221an2≥(a1a2nan)2

证明：设(a1,a2,...,an),(1,1,...,1)，由柯西不等式

∵(a12a22an2)(121212)(a11a21an1)2

∴(a12a22∴a12a22an2)n(a1a21an2≥(a1a2nan)2

an)2

【小结】①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；

②构造出两个向量，找出取等号的条件

例2：已知a,b,c,d是不全相等的实数，

证明：a2b2c2d2abbccdda

例3：已知x2y3z1,求x2y2z2的最小值. 解：设

(x,y,z),(1,2,3)，由柯西不等式：

∴(x2y2z2)(122232)≥(x2y3z)21

∴x2y2z2≥当且仅当即当x1 14xyz,又由x2y3z1

1231231,y,z时取得最小值. 14141414【小结】①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； ②利用不等式解决最值问题时,通常设法在不等式的一边得到一个常数。

3

从二维形式使学生对于的柯西不等数学的发展式额学习中和进步有一总结知识用个系统的了途，为本堂解，引导学课的立体选生在遇到困择做好铺垫

难时能够知

道如何去探

索解决问题

的思路。

由学生归学生先思纳，让学生考，寻找解熟悉公式，题的突破加深记忆. 口，老师的

讲解才能顺例1目的在理成章

于熟悉一般

形式的柯西

不等式，培

养学生的迁

移能力. 利用不等式

解决最值问例2目的在题时, 通常于构造两个设法在不等四维向量以式的一边得及本题中为到一个常什么等号取数，这也是不到的原因

运用柯西不

等式解题的

技巧

对不等式的

结构特点加

以说明，可

使学生能熟

练掌握公式

的本质

特点，以便

今后在应用

定理解决问

题时能得心应手．

五、当堂检测:

给学生充足时间，学生先练习，然后老师借助多媒体展示台投影学生成果，及时反馈，效果好。

【练习1】

(1)已知2x3y4z10，求x2y2z2的最小值.

(2)若9x212y25z29，求x6y5z的最大值.

进一步熟悉柯西不等式的结构特点以及用途。

【练习2】

已知x1,x2,...,xn都是正数,求证： (x1x2...xn)(111...)n2

x1x2xn六、课堂小结:

知识层面：

1、三维形式的柯西不等式：

2、一般形式的柯西不等式：

3、用途：①求最值；②证明不等式. 方法层面：

1.从特殊到一般的探究方式. 2.从观察到归纳，从猜想到证明的思维模式.

七、课后作业:

1.巩固性作业: P41 习题3.2 第1,2, 4,6.

2.探究性作业:小组合作证明一般形式的柯西不等式.

学生总结，老师补充

观察—归纳猜想—证明特殊到一般的思维方法，是发现事物规律的重要方法。

巩固提高, 形成自主探究的学习习惯．

八、板书设计:

一般形式的柯西不等式

1、柯西不等式的向量形式：

2、二维形式的柯西不等式：

变形：

3、三维形式的柯西不等式：

4、一般形式的柯西不等式：

例1.

例2. 例3.

4

九、教学反思:

上完本节课我的体会和反思是：

本节课重点在于让学生学会构造两个向量，从而正确运用柯西不等式；同时不等式中对于等号成立的应用，应多加强学生理解用a与b共线坐标满足的条件，特别是坐标bi0时,则aa1a2...n.让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出一般形式. 整节课以学生为主b1b2bn体，师生互动，体现了新课标的教学理念。在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律的四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的思维品质、核心素养。

在例题和练习的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题、发现问题、归纳推理的能力，从而形成良好的数学思维能力．

5