1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教案评析

1.1回归分析的基本思想及其初步应用

一、三维目标：

1、知识与技能：（1）了解随机误差、残差、残差分析的概念（2）会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果（3）掌握建立回归模型的步骤（4）通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法和初步应用

2、过程与方法：学生通过自学完成学案

3、情感态度价值观：在学习的过程中感受实际生活对统计知识的需要。

二、学习重难点：学习重点：了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析. 学习难点：了解回归分析的基本思想方法和初步应用

三、学法指导：认真阅读教材，独立完成学案。A班完成100%，B班完成80%，C班完成60%

四、知识链接 函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系.

五、学习过程

B问题1、从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编

号

1

2

3

4

5

6

7

8 身高/cm[来源:学科165 165 157 170 175 165 155 170 网ZXXK]

体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.

7060

50gk/40重体30

2010

0150155160165170175180身高/cm

第一步：作散点图

第二步：求回归方程

第三步：代值计算

②

提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）

③随机误差e

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，e称为随机误差。 ④随机误差

的主要原因：

（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述

与

之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在

中。

（2）忽略了某些因素的影响。影响变量

的因素不只变量

一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在

中。

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共

2 页（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的

的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在

中。上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。

B问题2、在线性回归模型中，是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？

B问题3、（1）如何发现数据中的错误？

（2）可以应用残差图来衡量模型的模拟效果。残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适。这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。

（3）通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析. （4）另外，我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，R2=________________ R2越大，意味着____________________越小，即模拟的拟合效果_______________. R2越小，意味着____________________越大，即模拟的拟合效果_______________. B问题5、一般的，建立回归模型的基本步骤：

（1）___________________________________________________________________________ （2）___________________________________________________________________________ （3）___________________________________________________________________________ （4）___________________________________________________________________________ （5）___________________________________________________________________________ C例1、某地大气中氰化物测定结果如下：

污染源距离

50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物浓度

0.687 0.398 0.200 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 1）试建立氰化物浓度与距离之间的回归方程. 2）求相关指数. 3）作出残差图，并求残差平方和

（（（

解析（1）选取污染源距离为变量x，氰化物浓度为自因变量y作散点图. y=7.19x+73.93用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） [来源:Zxxk.Com]

从表中所给的数据可以看出，氰化物浓度与距离有负的相关关系，用非线性回归方程来拟合，建立y关于x的指数回归方程.y∧＝0.9293e－0.0094x

n∑（y∧i－yi）2（2）相关指数K2＝1－i＝

1n

＝0.9915[来源:Zxxk.Com]

∑（y∧i＝1i－y）2（3）

编

号

1 2 3 4 5 6 7 8 污染源距离

50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物浓度

0.687 0.398[来源:Z#xx#k.Com]

0.2 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 残

差

0.1061857 0.035 －0.027 －0.021[来源学0.0014 科网ZXXK]

－0.005 －0.002 0.0015

n残差平方和∑（y∧1i－yi）2＝0.0118 i＝C例2、

某地区10名健康儿童头发和全血中的硒含量（1000ppm）如下，

血硒

74 66 88 69 91 73 66 96 58 73 发硒

13 10 13 11 16 9 7 14 5 10 （1）画出散点图；（2）求回归方程；

（3）如果某名健康儿童的血硒含量为94

（1000ppm）预测他的发硒含量. 解（1）散点图如下图所示：

（2）利用计算器或计算机，求得回归方程：

∧y＝0.2358x－6.9803 （3）当x＝94时，∧y≈15.2 因此，当儿童的血硒含量为94（1000ppm）时，该儿童的发硒含量约为15.2（1000ppm）. 六、达标训练

A1. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为

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2 页A.身高一定是145.83cm; .Com]B.身高在145.83cm以上; C.身高在145.83cm以下; D.身高在145.83cm左右. A2. 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下

，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80 C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25 B3.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数R2

B4.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为yˆ6090x，下列判断正确的是（） A.劳动生产率为1000元时，工资为50元 B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元

C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D.劳动生产率为1000元时，工资为90元

A5.线性回归模型y=bx+a+e中，b=_______,a=_________e称为_________ B6、有下列说法：

（1）线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法

（2）利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示

（3）通过回归方程可以估计和观测变量的取值和变化趋势

（4）因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验

其中正确命题的个数是__________个。

C7. 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x(转/秒) 16 14[

12 8 每小时生产有缺点的零件数y（件）

11 9 8 5 （1）变量y对x进行相关性检验；

（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

七、学习小结