三 反证法与放缩法教学设计案例

不等式的证明—放缩法

湖南省祁阳县第一中学：桂爱民

【学习目标】

1．知识与能力：不等式证明放缩法. 2．过程与方法：小组合作探究. 3．情感态度价值观：以极度的热情，自动自发、如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的快乐. 【重点难点】

1、理解掌握放缩法的基本原理与思路；

2、应用放缩证明一些简单的不等式. 【自主学习】

在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明.例如：

要证b

(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a

(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法.

放缩法的依据就是不等式的传递性. ．．．．．．．【合作、探究、展示】

【例题1】若a, b, c, dR+，求证：1abcd2. abdbcacdbdac（1）学生观察思考; (如何恰当的进行放缩) （2）师生分析; (放缩原理与理论根据) （3）学生证明.（学生在黑板上板书）

证明：记m =abcd

abdbcacdbdac∵a, b, c, dR+

mabcd1

abcdabcacdabdabcabcd2

同时

mababcddc∴1 < m < 2

即原式成立. 【教师点评】本题给出的是分式型的不等式的证明，要将其进行放大（缩小），只要缩小（放大）分式的分母就可以达到用放缩法来证明不等式的目的. 【配套练习1】设n为正整数，求证：师生分析(放缩原理与理论根据) 得到：

11111. 2n1n22n11111111111

22n2n2nn1n22nnnn第

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【例题2】已知a,b是实数，求证：ab1aba1ab1b.

（1）学生观察思考; (学生互相进行讨论) （2）师生分析; (放缩原理与理论根据) （3）学生证明.（学生在黑板上板书）

方法１：ab1aba1ab1b

证明：在ab0时，显然成立. 当ab0时，

左边111ab11ababbab|a|.

11ab1ab1ab1a1b方法2：0abab,

ab111ab111

11ab1a||bab1abbab|a|

.

1ab1ab1a1b方法3：构造函数f(x)x(x0)利用函数的单调性来证明不等式. 1x【教师点评】本题主要利用绝对值三角不等式来进行放缩. ababab,在一题多解时,极小数学生还想到了利用函数的单调性来证明不等式,实在是难能可贵!牛! 2n1-1）1【配套练习2】求证: （2kk1111...2n(nn*)

23n

学生讨论得到: 【自我小结】

一个方法：放缩法

．．．二个途径：

122,即可实现放缩来证明不等式. k2kkk11、放大: 要证ba,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)

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【课外作业】

P29

习题2.2第2、3题

【教学后记】

1、本节课学生的参与热情很高；

2、教学双边活动很好，教师是主导、学生是主体.体现得比较好! 3、配套练习2的证明由于部分学生的放缩不到位，此的一部分学生没有做出来. 第

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