小结教学实录及点评

课题：3.4 基本不等式

教

学

目

标

重点

基本不等式成立的条件及应用

难点

基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大值和最小值．

基本不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础，在高中数学中有着比教学方法、手段

较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用．本节宜采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导．

教学过程（教学设计）：步骤、内容、教学活动

二次备课

(1)会推导基本不等式：(2)理解第

课时

a＋b2≥ab；

a＋b2≥ab的几何意义；

(3)会利用基本不等式求最值．

【问题导思】

如图(1)是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图(2)形式．设直角三角形的长为a、b(a≠b)，那么正方形的边长为a＋b. 22

图(1)

1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？

图(2) 2．当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题1你有什么发现？

3．在a>0，b>0时，用a，b分别代替a、b，可以得到什么结论？

内容

等号

要不等式

a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)

ab≤a＋b2(a，b∈R＋)

“a＝b”时取“＝”

“a＝b”时取“＝”

本不等式

(对应学生用书第65页)

利用基本不等式比较代数式的大小

若0

【思路探究】

(1)a＋b与2ab的大小关系是怎样的？a＋b与2ab的大小关系呢？(2)a＋b与a＋b怎样比较大小？

【自主解答】

∵0

∴a＋b>2ab，a＋b>2ab；

∴四个数中最大的应从a＋b，a＋b中选择．

而a＋b－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，

又∵0

∴a＋b－(a＋b)<0，即a＋b

∴a＋b最大．

1．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a＋b≥2ab成立的条件是a，222222222222222222,b∈R，等号成立的条件是a＝b. 2．本题在比较a＋b与a＋b的大小时使用了作差法．

1a＋b已知a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，试比较22

22

P、Q、R的大小．

【解】

∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，

∴P＝lg a·lg b

2Q＝lg a＋lg b1a＋b＝lg ab＝lgab

222∴P

用基本不等式求简单的最值

9

(1)已知x>0，求f(x)＝x＋的最小值；

x(2)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；

1(3)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值．

299【思路探究】

(1)x与都为正数吗？它们的积为定值吗？怎样求x＋xx的最小值？

(2)由lg a＋lg b＝2能得到a，b为定值吗？a，b是正数吗？

(3)和为定值，能求积的最大值吗？

【自主解答】

(1)∵x>0，∴由基本不等式可得

f(x)＝x＋≥2x值6；

9x·＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，f(x)取到最小xx99(2)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a>0，b>0，

因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100＝20，

当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20. (3)∵m，n>0且m＋n＝16，

所以由基本不等式可得mn≤(m＋n1622)＝()＝64，

22当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64. 1∴mn的最大值为32. 2

当a>0，b>0时，

1．若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，可以用基4本不等式ab≤p2a＋b2求得．

2．若ab＝S(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意等号取得的条件．

12若x>0，求f(x)＝＋3x的最小值．

x12【解】

∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2x12·3x＝12，

x12当且仅当3x＝即x＝2时，“＝”成立．

x∴f(x)的最小值为12.

利用基本不等式证明不等式

a2b2c2

已知a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2【思路探究】

判断a，b，c，，，均大于0―→

bcaa2b2c2证＋b≥2a―→证＋c≥2b―→证＋a≥2c―→得所证不等式

bca

a2b2c2【自主解答】

∵a，b，c，，，均大于0，

bcaa2∴＋b≥2ba2·b＝2a，

ba2当且仅当＝b时等号成立．

bb2＋c≥2cb2·c＝2b，

cb2当且仅当＝c时等号成立．

cc2＋a≥2ac2·a＝2c，

a

c2当且仅当＝a时等号成立．

aa2b2c2相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c. bcaa2b2c2∴＋＋≥a＋b＋c. bca

1．此题多次使用a＋b≥2ab时，要注意等号能否成立，最后利用不等式性质累加的应用，此时也要注意等号成立的条件．

2．在解决不能直接利用基本不等式的证明问题，要重新组合，构造运用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换．

已知：a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1. 111求证：(－1)(－1)(－1)≥8.

abc【证明】

∵a＋b＋c＝1，a>0，b>0，c>0，

1a＋b＋cb＋c2bc∴－1＝－1＝≥>0，

aaaa1b1－1＝a＋b＋ca＋c2ac－1＝≥>0，

bbba＋b＋ca＋b2ab－1＝≥>0，

cccc－1＝将以上三式相乘得

1118ab·bc·ac(－1)(－1)(－1)≥＝8，

abcabc111即(－1)(－1)(－1)≥8.

abc(对应学生用书第66页)

忽视基本不等式成立的条件致误

1

求函数y＝x＋的值域．

x1【错解】

∵x＋≥2xx·＝2，

x1∴函数值域为[2，＋∞)．

【错因分析】

上述解答中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零，因而导致错误．

1【防范措施】

由于y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故要x对x的符号加以讨论，否则不能用基本不等式．

1【正解】

当x>0时，x＋≥2xx·＝2，

x11当且仅当x＝即x＝1时，“＝”成立，∴y≥2.

x11当x<0时，x＋＝－(－x＋)≤

x－x－21－x·＝－2，

－x1当且仅当－x＝，即x＝－1时，“＝”成立．

－x∴y≤－2. 故原函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞) .

1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有ab≤a＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，也有a＝b. a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构. (对应学生用书第67页)

1．若x＋y＝4，则xy的最大值是(

) 1A.

2C．2

【解析】

xy≤【答案】

C 2．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为________．

A．1 C．4 B．2 D．8 B．1

D．4 22x2＋y22＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．

【解析】

∵a>0，b>0，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2. 【答案】

B 43．已知x>0，函数y＝＋x的最小值为________．

x44【解析】

∵x>0，∴>0，∴y＝x＋≥2 xxx·＝4. x4【答案】

4 4．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2

，y＝a＋b，试比较x，y

的大小．

【解】

∵a，b是不相等的正数，

∴x＝2a＋b＋2aba＋b＋a＋b2<2＝a＋b＝y，

2又x>0，y>0，∴x

1．给出下面四个推导过程：

①∵a、b为正实数，∴＋≥2 baabba·＝2；

ab②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2lgx·lgy；

4③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 a4·a＝4；

a④∵x，y∈R，xy<0，∴－xyxy＋＝－[(－)＋(－)]≤－2 yxyxxy－y＝－2. x其中正确的推导为(

) A．①②

C．③④ B．②③

D．①④

【解析】

①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确；

②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；

③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，

4∴＋a≥2 4baabaa·a＝4是错误的；

④由xy<0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，(－)、(－)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．

【答案】

D

xyyxxyyxxyyx

2．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2＋2的最小值为(

) A．6

B．42 C．23

D．26 【解析】

2＋2≥22·2＝22【答案】

B 3．(2013·西安高二检测)设0

) A．a

C．a

由a＝a·a，b＝b·b＝

B 114．(2013·杭州高二检测)已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是ab(

) A．2

B．22 C．4

D．5 112【解析】

∵＋＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4，当且仅当ababa＝bab＝1

时，取“＝”，即a＝b＝1时，原式取得最小值4. 【答案】

C 115．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(

) xyA．3

B．4 C．5

D．6 【解析】

p＝x＋x＋yx＋yyx＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5. xyxy1当且仅当x＝y＝时，取“＝”．

2【答案】

C 二、填空题

6．已知x，y∈R＋，且xy＝100，则x＋y的最小值为________．

【解析】

x＋y≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．

【答案】

20 7．设a>1，且m＝loga(a＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，

2

p的大小关系是________(用“>”连接)．

【解析】

∵a>1，∴a＋1>2a>a＋1，

∴loga(a＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，

∴m>p>n. 【答案】

m>p>n

8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．

【解析】

设两数为x，y，即4x＋9y＝60，

1114x＋9y＋＝(＋)

xyxy60114x9y＝(13＋＋) 60yx15≥×(13＋12)＝，

60124x9y当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时，等号成立，故应22yx分别填上6、4. 【答案】

6,4 三、解答题

9．设a，b，c是不全相等的正数，求证：＋＋【证明】

∵a、b、c>0，∴bcacab>a＋b＋c. abcbcac＋≥2c，

abbcabacab＋≥2b，＋≥2a，

acbc∴2(＋＋)≥2(a＋b＋c)．

又∵a、b、c不全相等，

∴＋＋bcacababcbcacab>a＋b＋c. abc210．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax－3x＋2<0的解集为A＝{x|1

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x－9(x∈A)的最小值．

a－bx

a2【解】

(1)由题意知：1×b＝，aa>0，31＋b＝，

解得a＝1，b＝2. (2)由(1)知a＝1，b＝2，∴A＝{x|1

9∴f(x)＝4x＋(1

x9而x>0时，4x＋≥2x9934x·＝2×6＝12.当且仅当4x＝，即x＝时取xx2等号．

3而x＝∈A，∴f(x)的最小值为12. 2111．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]2与f(x1＋x22)的大小并加以证明．

1x1＋x2【解】

[f(x1)＋f(x2)]≤f()．

22证明如下：f(x1)＋f(x2) ＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，

f(x1＋x22)＝lg(x1＋x22)．

≥ x1·x2，

)，

∵x1，x2∈R＋，∴x1＋x222∴lgx1·x2≤lg(x1＋x21x1＋x2即lg(x1·x2)≤lg()，

221x1＋x2∴(lg x1＋lg x2)≤lg()．

2212故[f(x1)＋).f(x2)]≤f(x1＋x22

(教师用书独具)

记F(x，y)＝x＋y－a(x＋22xy)，x，y∈R＋.若对任意的x，y∈R＋，恒有F(x，y)≥0，请求出a的取值范围．

【思路探究】

分离参数a，变成a≤f(x)的形式，然后求f(x)的最小值即可．

【自主解答】

由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋22xy)．

因为x>0，y>0，

所以a≤x＋yx＋22xy恒成立．

所以a的最大值为x＋yx＋22xy的最小值．

因为22xy≤x＋2y，

所以x＋y1＝，

2x＋22xyx＋x＋2y≥x＋y11当且仅当x＝2y>0时，等号成立，即a的最大值为，所以a∈(－∞，]．

22

设a>b>c，且11m＋≥恒成立，求实数m的取值范围．

a－bb－ca－c【解】

由a>b>c知a－b>0，a－c>0.因此，原不等式等价于≥m.要使原不等式恒成立，只需因为a－ca－c＋a－bb－ca－ca－c＋的最小值不小于m即可．

a－bb－c＋a－ca－c＋＝a－bb－ca－b＋b－ca－ba－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋≥2＋2a－bb－cb－ca－bb－ca－b×＝4.当且仅当＝，即2b＝a＋c时，a－bb－ca－bb－c等号成立．所以m≤4，即m∈(－∞，4]．

第2课时

基本不等式的应用

【问题导思】

应用基本不等式求最值

1．利用基本不等式求最值时，应注意什么问题？

【提示】

在用基本不等式求函数的最大(小)值时，需要注意三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到．

42．当x<0时，能用基本不等式求＋x的最值吗？怎样求？

x44【提示】

能.＋x＝－[＋(－x)]≤－2×2＝－4. x－x3．如果给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？

【提示】

先变形，后应用．

已知x、y都是正数，

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. 4(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

S2(对应学生用书第68页)

利用基本不等式求最值

51

(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；

44x－5

11(2)已知0

22(3)已知x>0，求f(x)＝2x的最大值．

x＋12【思路探究】

(1)这些题目能直接利用基本不等式求最值吗？(2)对其进行怎样的变形后可以用基本不等式？

5【自主解答】

(1)∵x<，∴5－4x>0，

411∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，

4x－55－4x1当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，

5－4x故当x＝1时，ymax＝1. 1(2)∵00，

2112x＋1－2x2111∴y＝×2x(1－2x)≤×()＝×＝. 4424416111∴当且仅当2x＝1－2x(00，∴x＋≥2xx·＝2，

x121∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．

2x

1．本例题目都不能直接使用基本不等式求最值，需要先对其变形．

2．应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．

3．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．

(1)已知x>3，求f(x)＝x＋4的最小值；

x－3(2)已知x>0，y>0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．

【解】

(1)∵x>3，

∴x－3>0，4>0，

x－344＝x－3＋＋3 x－3x－34＋3＝7，

x－34即x＝5时，f(x)取到最小值7. x－3于是f(x)＝x＋≥2 x－当且仅当x－3＝(2)∵x>0，y>0,2x＋3y＝6，

112x＋3y2∴xy＝(2x·3y)≤·()

6621623＝·()＝，

622当且仅当2x＝3y，

33即x＝，y＝1时，xy取到最大值. 22

两个变量的最值问题

81

已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．

xy【思路探究】

从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件，但根据已知变形，消去一个变量，可构造成能使用基本不等式的形式，也可使用“1”的代换，尝试解决．

81【自主解答】

∵x＞0，y＞0，＋＝1，

xyy81x16y∴x＋2y＝(＋)(x＋2y)＝10＋＋

xyx≥10＋2 x16y·＝18，

yx

81x＋y＝1，当且仅当x16yy＝x，x＝12即y＝3

时，等号成立，

故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.

1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形．

2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．

bx

8181本例中，若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的xyxy最小值；

【解】

∵x，y∈R＋，

8181∴＋＝(x＋2y)(＋) xyxy16yx16yx＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋216＝18. xyxy16yx当且仅当＝时取等号，

xy21结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，

362181∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18. 36xy

基本不等式的实际应用

图3－4－1

围建一个面积为360 m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图3－4－1所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【思路探究】

设出

变量→列函数

关系式→利用函数

求最大值→求平

均利润→利用基本不

等式求最值→结论

【自主解答】

(1)如图所示，设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 360360由已知得xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x>0)．

22xx3602(2)∵x>0，∴225x＋≥2225×360＝10 800. 2x360∴y＝225x＋－360≥10 440.

2x360当且仅当225x＝时，等号成立．

2x即当x＝24时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．

应用基本不等式解决实际问题的方法

先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；正确写出答案．

如图3－4－2所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36 m．则每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？

图3－4－2 【解】

设每间羊圈的相邻两边长分别为x，y(平行于墙的一边为x)，则有4x＋6y＝36，

即2x＋3y＝18.设S＝xy. ∵18＝2x＋3y≥22x·3y＝26xy，

2727∴xy≤，即S≤. 22上式当且仅当2x＝3y时取“＝”．

2x＝3y，此时2x＋3y＝18，

9x＝，∴2y＝3.

9∴每间羊圈的相邻两边长分别为 m,3 m时面积最大．

2(对应学生用书第69页)

忽略等号成立的条件致误

14

设x，y为正数，求(x＋y)(＋)的最小值．

xy14【错解】

因为x，y为正数，所以x＋y≥2xy，＋≥2 4xyxy1，即＋x4y≥4xy144，从而(x＋y)(＋)≥2xy·＝8. xyxy144【错因分析】

在x＋y≥2xy中等号成立的条件为x＝y，在＋≥xyxy14中等号成立的条件为＝，即y＝4x，要使两个等号同时成立，必有x＝y＝0，xy这与题设矛盾．

【防范措施】

在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是一个题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误．

14xy4xy【正解】

(x＋y)(＋)＝1＋4·＋＋4＝5＋＋≥5＋2 xyyxyx4xy·yx＝9，

当且仅当4·＝，即y＝2x时等号成立．

xyyx

1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．

2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．

3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学

模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．

121．当x<0时，f(x)＝＋4x的最大值为(

) xA．－4

C．－83 【解析】

∵x<0，∴－x>0，

12∴f(x)＝－[(－)＋(－4x)] B．－8 D．－16 x≤－2 12－x－4x＝－83. 【答案】

C 2．不等式a＋1≥2a中等号成立的条件是(

) A．a＝±1

C．a＝－1 【解析】

a＋1≥2a，当且仅当a＝1时“＝”成立．

【答案】

B 3．函数y＝3＋3x2－x22B．a＝1 D．a＝0 的最小值为________．

99xx3·x＝6，当且仅当3＝x，即x＝1时等号339x【解析】

y＝3＋x≥23成立．

【答案】

6 4．求函数f(x)＝xx＋1的最大值．

≤211＝，

12【解】

∵f(x)＝1x＋1xx·x当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立. 一、选择题

1．下列函数中，最小值为4的函数是(

) 44A．y＝x＋

B．y＝sin x＋

xsin xC．y＝e＋4e D．y＝log3x＋logx81 【解析】

A中，x符号不定，排除A；B中，当sin x＝2时取“＝”，不可能，∴排除B；C中，e＝2时取“＝”，故选C；D中，log3x符号不定，∴排除D. 【答案】

C 142．(2013·长沙高二检测)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小xx－xab值是(

) 7A. 29C. 2B．4 D．5 14a＋b2a＋2b1b2a5【解析】

∵a＋b＝2，∴y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋ab2ab22ab22b2a9b2a·＝，当且仅当＝且a＋b＝2，取“＝”．

2ab22ab【答案】

C 3．(2013·临沂高二检测)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(

) A．x＝C．x>a＋b22 B．x≤a＋b22

a＋b D．x≥a＋b【解析】

由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)，

∴(1＋x)＝(1＋a)(1＋b)≤[∴1＋x≤1＋22＋a＋2. ＋b]，

2a＋b2，故x≤a＋b2【答案】

B 4．(2013·重庆高二检测)若函数f(x)＝x＋值，则a＝(

) A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

1(x>2)在x＝a处取最小x－2

【解析】

f(x)＝x＋∵x>2，∴x－2>0. ∴f(x)＝x－2＋11＝x－2＋＋2. x－2x－21＋2≥2 x－21，

x－2x－1＋2＝4，

x－2当且仅当x－2＝即x＝3时“＝”成立．

又f(x)在x＝a处取最小值．

∴a＝3. 【答案】

C 5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是(

) A．[6，＋∞)

＋∞)

C

6] 【解析】

∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2ab－3≥0，∴ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.

【答案】

B 二、填空题

56．已知0

log2x5【解析】

当0

log2x5＝2－[(－log2x)＋]≤2－25. －log2x5当且仅当－log2x＝，

－log2x即(log2x)＝5，亦即x＝2【答案】

2－25 7．(2013·苏州高二检测)函数y＝a1－x2－5B．[9，．(0,9] D．(0,时，等号成立．

(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，11若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．

mn【解析】

由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，

1111nm∴＋＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥4，

mnmnmn当且仅当m＝n时“＝”成立．

【答案】

4 8．某校要建造一个容积为8 m，深为2 m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．

【解析】

设底面的长为x

m，宽为y

m，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且

3z＝240×＋160·(2×2x＋2×2y) ＝120×8＋640(x＋y) ≥120×8＋1 280xy

＝120×8＋1 280×2

＝3 520. 【答案】

3 520 三、解答题

9．(2013·扶余高二检测)设x>－1，求y＝82x＋x＋1x＋的最小值．

【解】

∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有

y＝t＋ttt＋t2＋5t＋44＝＝t＋＋5≥2 ttt·＋5＝9. t44当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，函数取得最小值是9. 10．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．

【解】

x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋abxyaxbybxay＋≥a＋b＋2ab＝(a＋yxb)2，

∴(a＋b)＝18. 又∵a＋b＝10，

∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 11．(2013·临沂高二检测)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字

2

楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．

(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；

(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？

【解】

(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：

4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，

从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：

100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，

写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：

xx－y＝f(x)＝800x＋22×20＋9 000 *＝10x＋790x＋9 000(x∈N)．

(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：

g(x)＝fx×10 000＝2 000xx2＋790x＋x

900＝50(x＋＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．

x900当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．

x∴该写字楼应建30层．

(教师用书独具)

x2＋4求f(x)＝2＋1的最小值．

x＋3【思路探究】

将x＋4变成x＋3＋1，把x＋3看成一个整体，用基本不等式求解．

222

x2＋4x2＋3＋112【自主解答】

f(x)＝2＋1＝＋1＝x＋3＋2＋1，

2x＋3x＋3x＋3令t＝x＋3(t≥3)，

1则原函数变形为y＝t＋＋1，易证函数在区间[3，＋∞)上是增函数．

2t143所以当t＝3时，y＝t＋＋1取得最小值＋1. t3x2＋4所以当t＝3，即x＝0时，f(x)＝2＋1取得最小

x＋3值43＋1. 3

x2＋a＋1已知a>0，求函数y＝的最小值．

x2＋a【解】

y＝x＋a＋21x2＋a，当01时，令t＝x＋a1(t≥a)，y＝f(t)＝t＋，易知f(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以y≥f(a)t＝a＋1a＋1，当t＝a，即x＝0时等号成立，则ymin＝.综上，当01时，ymin＝. a

不等式的性质

在应用不等式性质时要注意每个性质的使用条件，不要盲目乱用或错用．特别地在应用乘法性质时，容易漏掉“同正”这一条件，另在进行不等式加减运算时，要注意不等式与等式间线性运算的区别，切勿因直接加减以增大或缩小不等式的范围．

如果a，b，c满足c

) A．ab>ac

B．c(b－a)> C．cb

对照已知条件结合不等式的基本性质逐项验证．

【解析】

c0，c<0.对于A：22

b>ca>0⇒ab>ac，A正确．

对于B：对于C：

b0，B正确；

222⇒cb≤abD⇒/cb

≥0对于D：ac<0，a－c>0⇒ac(a－c)<0，D正确．

【答案】

C

已知a，b为非零实数，且a

) A．a

2222

C.1abab2<12 D.<

1>0，∴a·1

baab【解析】

∵a

C

不等式的恒成立问题

不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，在求解不等式中的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨．

常见的解决恒成立问题的方法有：

(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法．

不等式(m－2m－3)x－(m－3)x－1<0对一切实数x恒成立，求m的取值范围．

【思路点拨】

先讨论二次项系数为零时是否符合题意，对于二次项系数不为零时，用其等价不等式组求m的范围．

【规范解答】

当m－2m－3＝0时，m＝－1或3.而m＝3时，－1<0符合题意，所以m＝3；

当m－2m－3≠0时，应有

m－2m－3<02＋－m＋22222m－2m－2

－1

1⇒－

5x2＋2x＋a已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，x试求实数a的取值范围．

x2＋2x＋a2【解】

由x∈[1，＋∞)，f(x)＝>0恒成立，得x＋2x＋a>0x恒成立．

即当x≥1时，a>－(x＋2x)＝g(x)恒成立．

而g(x)＝－(x＋2x)＝－(x＋1)＋1在[1，＋∞)上单调递减，

222

∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.

线性规划问题

线性规划问题是在二元一次不等式(组)所表示的平面区域后学习的，主要是想通过该工具解决生产、生活实际中的最值问题(如用料最省，效益最大等)，解线性规划问题时应首先准确列出二元一次不等式(组)，并画出相应平面区域，在此基础上利用数形结合的思想寻找目标函数的最值，需特别说明一点：用好斜率间的关系是避免找错最优解的关键．

某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过加工和装配两个车间加工，有关数据如下表所示：

加工时间(h/件)

加工

装配

利润(元/件)

产品

甲

4

2

300

乙

3

5

520 总有效

试问加工这两种产品各多少件，才能使工厂获得的利润最大？

【思路点拨】

列出线性约束条件及目标函数，画出可行域，利用平移法求最值．

【规范解答】

设加工甲、乙两种产品分别为x件、y件，工厂获利z元，则z＝300x＋520y. 2x＋5y≤500，由题意，得x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域如图所示．

4x＋3y≤480，

15115考虑z＝300x＋520y，将它变形为y＝－x＋z，这是斜率为－且26520261随z变化的一族平行直线.z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，520z的值最大．由图可知，当直线z＝300x＋520y经过可行域上的点M时，截4x＋3y＝480，距最大，即z最大．由2x＋5y＝500，

22得M的坐标为(64，74)，不满足77x∈N，y∈N，平移直线并验证知点(64,74)是最优解．

∴当加工64件甲产品，74件乙产品时，工厂获得最大利润．

设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(

) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1

【解析】

|x|＋|y|≤1表示的平面区域为如图所示的阴影部分．设z＝x＋2y，易知当直线z＝x＋2y过点(0,1)时，z有最大值，zmax＝0＋2×1＝2；当直线过点(0，－1)时，z有最小值，zmin＝0＋2×(－1)＝－2. 【答案】

B

的热点．

基本不等式的应用

利用基本不等式求函数最值，证明不等式、解决实际问题历年都是高考

基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2ab(a≥0，b≥0)求“定积求和，和最小”问题，用ab≤(a＋b2)求“定和求积、积最大”问题．一2定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，及对等号能否成立的验证．

若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．

已知0

【思路点拨】

利用基本不等式解题时，求积的最大值，和必须是定值，而此时两数x与8－3x的和不是定值，如果乘一个常数3，那么两数3x与8－3x的和是定值．

【规范解答】

∵0

∴8－3x>0，

113x＋8－3x216∴y＝x(8－3x)＝·3x·(8－3x)≤·()＝，

33234当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．

3416∴当x＝时，y＝x(8－3x)取得最大值，最大值为. 33

已知log2a＋log2b≥1，则3＋9的最小值为________．

【解析】

log2a＋log2b＝log2ab，

∵log2a＋log2b≥1.

∴ab≥2且a>0，b>0.3＋9＝3＋3≥23·3＝23≥232×2ababa2ba2ba＋2b≥2322ab＝18，

当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立．

∴3＋9的最小值为18. 【答案】

18 ab

分类讨论的思想

分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，

获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．

本章中求解含参数的一元二次不等式是要用到分类讨论的思想，根据不同题目，常见分类方法有以下三种：

1．对二次项系数分类讨论．

若二次项系数含有参数a，则a的符号影响与不等式对应的函数的图象的开口方向，从而对不等式的解集有影响，需分a>0，a＝0，a<0三种情况讨论．

2．对判别式分类讨论．

若判别式Δ中含有参数a，则Δ的符号影响对应方程的解的个数，从而对不等式的解集有影响，需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况讨论．

3．对根的大小分类讨论．

若与不等式对应的方程的根x1，x2中含有参数，那么x1，x2的大小影响不等式解集的取值，需分x1>x2，x1＝x2，x1

解关于x的不等式ax－(a＋1)x＋1<0. 【思路点拨】

二次项系数中含有参数a，需要对a的符号进行分类讨论．

【规范解答】

若a＝0，原不等式变为－x＋1<0，即x>1. 1若a<0，原不等式变为(x－)(x－1)>0，

2a11此时对应方程 (x－)(x－1)＝0的两根为x1＝，

aax2＝1，∴不等式的解集为{x|x<或x>1}．

a1若a>0，原不等式变为(x－)(x－1)<0，

1a11此时对应方程(x－)(x－1)＝0的两根为x1＝，

aax2＝1.当＝1，即a＝1时，不等式的解集为∅；

a11当>1，即0

1aaa11当<1，即a>1时，不等式的解集为{x|

a综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；

1当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>1}；当0

1{x|1

a1当a>1时，不等式的解集为{x|

a

解不等式ax＋2x＋1>0(a>0)．

【解】

首先看判别式Δ＝4－4a，

当Δ<0时，4－4a<0，此时a>1，二次项系数已经大于0. 而此时二次方程ax＋2x＋1＝0无实根，∴不等式的解集为R. 当Δ＝0时，4－4a＝0，此时a＝1，原不等式变为x＋2x＋1>0，

即(x＋1)>0，只须x≠－1，∴不等式的解集为{x|x≠－1}，

当Δ>0，即4－4a>0时，0x2}．

－1－1－a－1＋1－a综上，当 0}，

aa当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}，当a>1时，原不等式的解集为R

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