1.3 二项式定理（通用）教学创新设计

第3讲

二项式定理

板块一

知识梳理·自主学习

[必备知识] 考点1

二项式定理的内容

0n1n－11n－rrnn1．(a＋b)n＝Cna＋Cnab＋…＋Crb＋…＋Cnb(n∈N*)．

narn－rr2．第r＋1项，Tr＋1＝Cnab. 3．第r＋1项的二项式系数为Crn(r＝0,1，…，n)．

考点2

二项式系数的性质

－kk1．0≤k≤n时，Cn与Cnn的关系是相等．

012n0243．各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋CnCn＋Cn＋Cn＋…n＝2，35n－1＝2n－1，C1. n＋Cn＋Cn＋…＝2[必会结论] 1．二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n. －101n(4)二项式的系数从Cn，Cn，…一直到Cnn，Cn. 2．二项式系数与项的系数

二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指1nC0n，Cn，…，Cn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中，第k＋1项的二项kn－kk式系数是Ckb.当然，在某些二项展开式中，n，而该项的系数是Cna各项的系数与二项式系数是相等的．

[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) n－kk(1)Ckab是二项展开式的第k项．(

) n(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(

) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(

) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(

) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2．[课本改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(

) A．9

C．7

答案

B 解析

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8. 163．[课本改编]二项式x－的展开式中常数项为(

) xA．－15

C．－20

B．15

D．20 B．8

D．6

答案

B 6－r解析

依题意，二项展开式的通项公式Tr＋1＝Cr·(－x6x－

12r

)＝(－1)C6x15. r6－r－2rrr4

，令6－r－2＝0，得r＝4，所以常数项为(－1)4C6＝21n4．[2018·抚州模拟]若x－x展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x2的系数为(

) A．－21

C．35

答案

C 解析

由已知得2＝128，n＝7，所以nB．－35

D．21 1rr2(7－r)－＝CrTr＋1＝C7x·7(－x41)rx14－3r，令14－3r＝2，得r＝4，所以展开式中x2的系数为C7(－1)4＝35.故选C. 5．[2017·山东高考]已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________. 答案

4 r解析

(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crn(3x).令r＝2，得T322＝9C2nx.由题意得9Cn＝54，解得n＝4. 6．[2018·吉林模拟](x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________．

答案

179 解析

(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本题求x10的系数，10－rr只要求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数Tr＋1＝Crx·2

102取r＝2，r＝0得x8的系数为C10×22＝180，

x10的系数为C010＝1，

∴所求系数为180－1＝179. 板块二

典例探究·考向突破

考向答案

6

二项展开式中特定项或系数问题

例

1

(1)(xy－yx)4的展开式中，x3y3项的系数为________．

4－r解析

由二项展开式的通项可得Tr＋1＝Cr·(－yx)r＝(－4(x·y)1)C4xr4－2rr

·yr2＋2

. r4－2＝3令r2＋2＝36.

2解得r＝2，所以展开式中x3y3的系数为(－1)2C4＝152ax＋的展开式中x5的系数是－80，(2)[2016·山东高考]若则x实数a＝________. 答案

－2 解析

Tr＋1＝a510－r25－rrC5x5

，令10－r＝5，解之得r＝2，所以2a3C25＝－80，a＝－2. 触类旁通

求二项展开式中的项或项的系数的方法

(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．

(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．

216【变式训练1】

(1)[2018·广东测试]x－2x的展开式中，常数项是(

) 5A．－4

5B.4

15C．－16

答案

D 15D.16

1r1rr12－3r26－r－解析

Tr＋1＝Cr(x)，令12－3r＝0，解62x＝－2C6x14415得r＝4.∴常数项为－2C6＝16.故选D. 1x－8(2)4的展开式中的有理项共有________项．

2x答案

3 1－r r解析

∵Tr＋1＝C8(x)8－r42x16－3r1rr4＝－C8x

，

2∴r为4的倍数，故r＝0,4,8共3项．

考向

二项式系数的和或各项系数的和

例

2

二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和；

(4)各项系数绝对值之和．

解

设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. 1299(1)二项式系数之和为C09＋C9＋C9＋…＋C9＝2. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①

令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②

59－1①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝2，此即为所有奇数项系数之和．

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，

令x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59，此即为各项系数绝对值之和．

触类旁通

二项式定理中赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

f1＋f－1奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

2f1－f－1偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2【变式训练2】

(1)[2018·温州调研]已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(

) A．－20

C．1

答案

D 解析

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得9a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C10×21×(－1)9＝B．0

D．20 －20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. 3n(2)在二项式x＋x的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．

答案

9 解析

令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开

3－r3r＝3rCr式的通项Tr＋1＝Cr(x)33x

x33－r22

，显然当r＝1时，Tr＋1是常数项，值为3C13＝9. 考向

项的系数的最值问题

232n

＋3x)例

3

[2018·宜昌高三测试]已知(x系数和与它的二项式系数和的比为32. 的展开式中，各项(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解

令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 22nn又展开式中二项式系数和为2.∴2n＝2＝32，n＝5. n(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝C25(x3T4＝C5(x

233226

)(3x)＝90x，

2322223

)(3x)＝270x. 3(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，

k则由Tk＋1＝C5(x

10＋4k235－k32kkk

)(3x)＝3C5x

，

kkk－1k－13C5≥3C5，79得kk∴2≤k≤2，∴k＝4，

k＋1k＋13C5≥3C5，

即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x触类旁通

1．求二项式系数最大项

226

3324

)(3x)＝405x

. n(1)如果n是偶数，那么中间一项(第2＋1项)的二项式系数最大；

n＋1n＋1项)的二(2)如果n是奇数，那么中间两项(第2项与第＋12项式系数相等并最大．

2．求展开式系数最大项

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数Ak≥Ak－1最大，应用

Ak≥Ak＋1

从而解出k来，即得．

2n【变式训练3】

(1)若x＋x2的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(

) A．180

C．90

答案

A 解析

只有第6项的二项式系数最大，可知n＝10，于是展开式通项为Tr＋1＝Cr10(5r5－22x)10－r2r＝2rCr·x

，令10B．120

D．45 x5r5－2＝0，得r＝2，所以常数项为22C210＝180.故选A. (2)若x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15的二项展开式中系数最大的项为第________项．

答案

11 r－1r－1rrC2≤C15152，rrr解析

Tr＋1＝C152x，由r＋1r＋1

rrC2≤C2，1515

2932解得3≤r≤3，故r＝10，所以第11项的系数最大．

考向

二项式定理的应用

命题角度1

n个多项式积的展开式问题

1例

4

[2017·全国卷Ⅰ]1＋x2(1＋x)6展开式中x2的系数为(

) A．15

C．30

B．20

D．35

答案

C 解析

因为(1＋x)的通项为14422x2的项为1·C6x和x2·C6x. 6×542因为C2＋C＝2C＝2×＝30，

6662×11所以1＋x2(1＋x)6展开式中x2的系数为30. 故选C. 【变式训练4】

[2017·全国卷Ⅲ](x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(

) A．－80

C．40

答案

C 解析

因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C322＝－40，

5·x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C223＝80. 5·所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C. 命题角度2

与整除有关的问题

例

5

[2018·潍坊模拟]设a∈Z，且0≤a<13，若512018＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

C．11

答案

D 02017解析

由于51＝52－1，(52－1)2018＝C2018522018－C1＋…2018521－C2017又由于13整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，201852＋1，61rrC6x，所以1＋x2(1＋x)6展开式中含B．－40

D．80 B．1

D．12 a∈Z，所以a＝12. 命题角度3

求近似值的问题

例

6

求0.9986的近似值，使误差小于0.001. 解

0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，

∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006<0.001，

即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，

∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，

即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988. 触类旁通

二项式定理应用的题型及解法

(1)对于多项式积的特定项问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏．

(2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．

(3)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【变式训练5】

99100＋1除以1000的余数是________．

答案

2 解析

99100＋1＝(100－1)100＋1 1001100＝C0＋(－C100×10099)＋…＋(－C99100×100100×100)＋C100×1＋1 ＝100100－100×10099＋…－10000＋2，

从第一项到倒数第二项都能被1000整除，

∴余数是2.

核心规律

n－kk1.二项展开式的通项Tk＋1＝Ckb是展开式的第k＋1项，这是na解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数时，要根据通项公式讨论对k的限制．

2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以，在解题时，根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方

法．

满分策略

1.注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．

2.解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．

3.切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念. 板块三

启智培优·破译高考

题型技法系列17——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题

[2015·全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A．10

C．30

作一项，应用二项式定理求解．

25－rr解析

由二项展开式通项易知Tr＋1＝Cry，令r＝2，则5(x＋x)23223t23－ttT3＝C2·x＝Ct3x6－t，5(x＋x)y，对于二项式(x＋x)，由Tt＋1＝C3(x)21令t＝1，所以x5y2的系数为C5C3＝30.故选C. B．20 D．60 解题视点

利用拆分法，(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，将(x2＋x)看答案

C 答题启示

二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解. 跟踪训练

(1)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(

) A．－210

C．30

答案

A B．210

D．－30

029解析

(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C10(x2)10－C1(x)(x－1)10291010398＋…－C910x(x－1)＋C10(x－1)，所以含x项的系数为：－C10C9＋7C1010(－C10)＝－210.故选A. 43x＋(2)[2018·安徽安庆模拟]将

x－4展开后，常数项是________．答案

－160 2643解析

x＋x－4＝x－展开后的通项是

xCk6(x)6－k2k6－2k－＝(－2)k··Ck. 6(x)x令6－2k＝0，得k＝3. 3所以常数项是C6(－2)3＝－160. 板块四

模拟演练·提能增分

[A级

基础达标] 1n1．已知a＋a(n∈N*)的展开式中含a3的项为第3项，则n的值为(

) A．2

C．12

答案

C 解析

C. a712x＋2．[2018·湖北模拟]若二项式x的展开式中x3的系数是84，则实数a＝(

) A．2

C．1

答案

C B.4

2D.4

5n－2n－3122n222∵T3＝Cna

＝Cna

，∴－3＝3，得B．6

D．24 a2n＝12.故选

解析

1r7－rar7－rrr＝2C7a·2r－7.令Tr＋1＝C7·(2x)·xx2r－7＝3，则r＝5.55由22·C7a＝84得a＝1.故选C. 3．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(

) A．56

C．112

答案

D 4解析

因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为C28，(1＋y)的展开式2222中y2的系数为C24，所以xy的系数为C8C4＝168.故选D. B．84

D．168 4．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为(

) A．71

C．21

答案

B 解析

因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n2＝7，因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C7(－2)2＋C17(－B．70

D．49 2)＝70.故选B. a155．若x＋x2x－x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(

) A．－40

C．20

答案

D 解析

令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. 151rr5－r5－rr5－2r－＝(－1)r·∴2x－x的通项为Tr＋1＝C5·(2x)·2·Cx. 5·x令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3. 3∴展开式的常数项为(－1)2×23·C2 22·C35＋(－1)·5＝80－40＝40. B．－20

D．40 6．[2018·遵义四中月考](2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为(

)

A．－1

C．1

答案

B B．0

D．2 kk28－kkkk8－k解析

二项式的通项Tk＋1＝Ck2(－1)(x)＝C·(－1)x

，8828444令k＝8，则T9＝C8(－1)x＝x，∴x的系数为1，令x＝1，得展开8式的所有项系数和为(2－1)8＝1，∴不含x4项的系数的和为0.选B. 7．[2018·衡水模拟]已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(

) A．180

C．－5

答案

A 10－r解析

(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝Cr2·(－10281)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝C8102(－1)＝180.故B．90

D．5 选A. 168．设a＝sinxdx，则二项式ax－展开式中的常数项是x0π________．

答案

－160 解析

a＝πsinxdx＝(－cosx)|π0＝2，

0Tr＋1＝Cr6(2x)6－r16－rr3－r－r＝Cr2(－1)x，

6x令3－r＝0，则r＝3. 所以二项展开式中常数项为－C323＝－160. 6·1279．[2018·唐山模拟]S＝C27＋C227＋…＋C27除以9的余数为________．

答案

7 2272799解析

依题意S＝C1＋C＋…＋C＝2－1＝8－1＝(9－1)－2727279188908171＝C09×9－C9×9＋…＋C9×9－C9－1＝9×(C9×9－C9×9＋…＋

08178C8)－2.∵C×9－C×9＋…＋C9999是正整数，∴S被9除的余数为7. 10．[2015·全国卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 答案

3 解析

设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4，则其展开式的所有项的系数和为f(1)＝(a＋1)·(1＋1)4＝(a＋1)×16，∵展开式中x的奇数次幂项的系数11和为2[f(1)－f(－1)]，又f(－1)＝0，∴2×(a＋1)×16＝32，∴a＝3. [B级

知能提升] 1n6的展开式中含有常数项，1．[2018·山西四校联考]若x＋则xx正整数n的最小值等于(

) A．3

C．5

答案

C 解析

r6n－rTr＋1＝Cn(x)B．4

D．6 15r6n－r2r＝Cnx

，当1xxTr＋1是常数项时，6n15r5r－2＝0，即n＝4，又n∈N*，故n的最小值为5.故选C. 1102．[2018·福建厦门联考]在1＋x＋x2018的展开式中，x2的系数为(

) A．10

C．45

答案

C 110110解析

因为1＋x＋x2018＝1＋x＋x2018＝(1＋x)10＋C110(1＋x)x9101102018＋…＋C102018，所以xB．30

D．120 1x2只出现在(1＋x)10的展开式中，所以22含x2的项为C210x，系数为C10＝45.故选C. 3．[2017·浙江高考]已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋

a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________. 答案

16

4 解析

a4是x项的系数，由二项式的展开式得

22a4＝C3C12＋C2C2·2＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得3·2·3·322a5＝C3·C2·2＝4. 1n的展开式中前三项的系数成等差数列．

4．已知x＋2x(1)求n的值；

(2)求展开式中系数最大的项．

解

(1)由题设，得12110Cn＋·Cn＝2×·Cn，

42即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．

(2)设第r＋1的系数最大，则112C≥2rr81r1r＋12rC8≥2r＋1C8，r－1r－1C8.

即112r≥9－r，11≥，8－r2r＋1

解得2≤r≤3. 所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x

72

. 2n5．[2018·焦作模拟]已知x－x2(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和；

32

的项；

(2)求展开式中含x(3)求展开式中二项式系数最大的项．

解

由题意知，第五项系数为C4(－2)4，

n·44C·－210n22第三项的系数为Cn·(－2)，则有2＝，

Cn·－221

化简得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式Tk＋1＝Ck(8·3－2k＝2，则k＝1.

8－k－2k8－k2k28－kkkx)·(－2)＝C8·(－2)·x

，令x2故展开式中含x32

的项为

T2＝－16x32

. (3)由n＝8知第五项二项式系数最大，

此时T5＝1120x－6.