1.3 二项式定理（通用）优秀课堂实录

1.3二项式定理

1.3.1二项式定理

【教学目标】

（1）理解用组合的知识推导二项式定理；

（2）理解通项的意义并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同；

（3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. （4）充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】

二项式定理及通项公式的掌握及运用

【教学难点】

二项式定理及通项公式的掌握及运用

第一课时

一、复习引入：

02122

⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

⑵(ab)a3ab3abbC3aC3abC3abC3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

00展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a4的系数是C4；112恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，a2b2的系2334数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b44的系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

3322303122233二、讲解新课：

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n0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)

二项式定理：(ab)CnaCnab⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cn种，anrbr的系数是Cn，……，

有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

∴(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

nnrr1100这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,⑷Cnarnrrn)叫二项式系数，

rnrrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

rrCnxn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)1Cnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(1)．

1x44641141411112313234．

xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()444

xxx46411234．

xxxx解一：

(1)1C4()C4()C4()()1例2．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx1131[(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C6(2x)3C62(2x)2C6(2x)1]

3x第

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64x3192x2240x16060121．

xx2x3

第二课时

例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

解：（1）T21C6(2a)(3b)2160ab，

（2）T21C6(3b)(2a)4860ba．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(2424224242x339)的展开式常数项；

x（2）求(x339)的展开式的中间两项

xr939rx9r3rr2r9)C93x2，

解：∵Tr1C()(3x∴（1）当9（2）(3r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C96332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

x1542951093

2，TC3x378x369xT5C94389x912

第三课时

例6．（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

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（2）求(x)的展开式中x3的系数及二项式系数

解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)280x，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x∴92r3，r3，

∴x3的系数(1)C984，x3的二项式系数C984．

例7．求(x23x4)4的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起

，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x23x4)4[(x23x)4]4

1234C40(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

1x93331x9r9r1()r(1)rC9rx92r，

x333显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是C4343768

（法二）：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404133(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C42x242C4x43C4444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

mn例8．已知f(x)12x14x

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值

分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12x14x展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

mn∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

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11

12xm14x展开式中含x2的项的系数为

n2222tCm2Cn42m22m8n28n，

∵m2n18，

∴m182n，

∴t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n612

16(n23715337n)，∴当n时，t取最小值，但nN*，

448∴

n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

第四课时

课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 33.写出(x66123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x32x的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(6.化简：（1）(17．xxlgxx25). 2x1111x)5(1x)5；（2）(2x23x2)4(2x23x2)4

6展开式中的第3项为105，求x．

1

8．求x展开式的中间项

x答案：1. T21C6(2a)2. T21C6(3b)2622622n(3b)22160a4b2

(2a)24860a2b4

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r1rn32rr3nrr3. Tr1Cn(x)(

)Cnx32x214.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

5.（1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(333x25125xxx)xxxx5x20402323. 2x328xx6. （1）(1x)5(1x)5220x10x2；

11（2）(2x23x12)4(2x23x12)4192x432x

7. xxlgx5展开式中的第3项为C2x32lgx5106x32lgx105

2lg2x3lgx50lgx1,lgx52x10,x1010002n8. x1x展开式的中间项为(1)nCn2n

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