三 反证法与放缩法设计意图

§1.5.3不等式的证明方法（二）

教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即反证法与放缩法.. 教学重点、难点：放缩法. 教学过程：

一、情景引入

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、精讲精练

例1：设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1. 2分析：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于1，则

2

f(1)2f(2)f(3)2.

（1）

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2

（2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

点评：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

变式训练1：设ab2，求证ab2.

证明：假设ab2，则有a2b，从而

33

a3812b6b2b3,ab6b12b86(b1)2.333322

33

因为6(b1)222，所以ab2，这与题设条件ab2矛盾，所以，原不

等式ab2成立。

例2：若n是自然数，求证211112.

122232n2分析：利用kk(k1)11作为突破口进行证明. k2k(k1)证明：1111,k2,3,4,,n.

2k(k1)k1kk11111111

222211223(n1)n123n1213

111)

=22.

n1nn1111点评：实际上，我们在证明22222的过程中，已经得到一个更强123n11111的结论22222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

n123n11113.

变式训练2：求证：1112123123n111k1,（k是大于2的自然数）

证明：由123k122221111

得1

112123123n11n11112313.

1123n11122222n112

=()()(三、课堂小结

1.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法

凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。

2.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。

四、布置作业

1111121. 1、设n为大于1的自然数，求证11111.

n1n2n32n22.

当

n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1

证明：∵n > 2

∴logn(n1)0,logn(n1)0

logn(n21)logn(n1)logn(n1)

∴logn(n1)logn(n1)

222lognn

1

2222

∴n > 2时,

logn(n1)logn(n1)1