3.1.2 复数的几何意义教学内容概述

3.3 复数的几何意义

教学目标

了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。

教学重、难点

重点：复数的几何意义

难点：复数加、减法的几何意义

教学过程

一、问题引入：

我们知道实数可以用数轴上的点来表示。

那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？

二、知识新授：

复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是b∈R)，因为对于任何一个复数z=a+bi(a、由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实2)确定，1)来确定；数对(3，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.

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三、例题应用：

例1、(1)下列命题中的假命题是（

D ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

(2)复数z与

所对应的点在复平面内(

A

)

(A)关于x轴对称

(B)关于y轴对称

(C)关于原点对称

(D)关于直线

对称

22例2、已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

【解析】m2m60由2mm20，，

3m2得m2或m1m(3,2)(1,2)

22变式一：已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。

2222【解析】∵复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点是（m+m-6，m+m-2），

∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，

∴m=1或m=-2。

跟踪练习

1、下列命题中的假命题是（

D ）

(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. 2、“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的(

C

)

(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充要条件

(D)不充分不必要条件

3、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范围。m3m2或1m2

2

22+变式二、已知复数z=(m+m-6)+(mm-2)i，求证：对一切实数m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

例3

实数x分别取什么值时，复数zx2x6(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限？(2)第四象限？(3)直线xy30上？

【解析】：（1）当实数x满足x2x60,2x2x150.即3x2时，点Z在第三象限。

（2）当实数x满足2xx60,2x2x150.即2x5时，点Z在第四象限。

（3）当实数x 满足(x2x6)(x22x15)30，即x2时，点Z在直线xy30上。

四、课堂小结：

(一)、知识点：

(二)、思想方法：

(1)类比思想；(2)转化思想；(3)数形结合思想. 五、课后作业：

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