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第三章

章末复习课

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求

解．

当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．

3．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．

(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．

4．求目标函数最优解的两种方法

(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；

(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数；

(2)“二定”——“和”或“积”为定值；

(3)“三相等”——等号一定能取到．

专题一

不等关系与不等式的基本性质

1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式

不可以相加，同向不等式不可以相减．

(1)若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；

(2)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－a. 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．

(1)若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；

ab(2)若a＞b＞0，0＜c＜d，则＞. cd3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a＞b＞0，则a＞b或a＞b. 11114．若ab＞0，a＞b，则＜；若ab＜0，a＞b，则＞. ababa2b2[例1]

已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．

baaba2b2解：因为b＋a－(a＋b)＝－b＋－a＝

ba22nnnna2－b2b2－a21221＋＝(a－b)b－a＝

ba2a－b（a－b）（a＋b）(a2－b2)＝，

abab因为a＞0，b＞0，且a≠b，

所以(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0，

abab所以b＋a－(a＋b)＞0，即＋＞a＋b. ba2222归纳升华

不等式比较大小的常用方法

(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．

(2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式．

(3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小．

(4)分子分母有理化．

(5)利用中间量．

[变式训练]

(1)已知0＜x＜2，求函数y＝x(8－3x)的最大值；

2(2)设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)，求函数f(x)的最小值．

x＋1解：(1)因为0＜x＜2，所以0＜3x＜6，8－3x＞0，

1所以y＝x(8－3x)＝×3x·(8－3x)≤

313x＋8－3x216＝，

3324当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号，

3416所以当x＝时，y＝x(8－3x)有最大值为.

33(2)f(x)＝x＋＋1＞0，22＝(x＋1)＋－1，因为x∈[0，＋∞)，所以xx＋1x＋12＞0，

x＋12所以x＋1＋≥22.

x＋1当且仅当x＋1＝2，

x＋1即x＝2－1时，f(x)取最小值．

此时f(x)min＝22－1. 专题二

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的求解流程如下：

一化——化二次项系数为正数．

二判——判断对应方程的根．

三求——求对应方程的根．

四画——画出对应函数的图象．

五解集——根据图象写出不等式的解集．

[例2]

(1)解不等式：－1＜x2＋2x－1≤2；

a（x－1）(2)解不等式＞1(a≠1)．

x－22x＋2x－1＞－1，解：(1)原不等式等价于2

x＋2x－1≤2，2x＋2x＞0，

①即2

x＋2x－3≤0.

②由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0；

由②得(x＋3)(x－1)≤0，

所以－3≤x≤1.

将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．

求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤

x＜－2或0＜x≤1}．

(2)原不等式可化为a（x－1）－1＞0，

x－2a－2(x－2)＞0(*)，

即(a－1)x－a－1a－2a－2－a(x－2)＞0，①当a＞1时，

(*)式即为x－而－2＝a－1a－1a－1a－2a－2＜0，所以＜2，此时x＞2或x＜.

a－1a－1

a－2(x－2)＜0，

②当a＜1时，(*)式即为x－a－1a－2a而2－＝，

a－1a－1a－2a－2若0＜a＜1，则＞2，此时2＜x＜；

a－1a－1若a＝0，则(x－2)2＜0，此时无解；

a－2a－2若a＜0，则＜2，此时＜x＜2.

a－1a－1综上所述，

a－2或x＞2；

当a＞1时，不等式的解集为xx＜a－1a－2；

当0＜a＜1时，不等式的解集为x2＜x＜a－1当a＝0时，不等式的解集为∅；

a－2＜x＜2. 当a＜0时，不等式的解集为xa－1归纳升华

含参数的一元二次不等式的分类讨论

(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．

(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．

(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a(x－x1)(x－x2)的形式时，往往需要对其根分x1＞x2、x1＝x2，x1＜x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．

[变式训练]

定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是

减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．

解：因为f(x)的定义域为(－1，1)，

－1＜1－a＜1，所以

2－1＜1－a＜1，0＜a＜2，所以

－2＜a＜2且a≠0，所以0＜a＜2，①

原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a2)．

由于f(x)为奇函数，有－f(1－a2)＝f(a2－1)，

所以f(1－a)＜f(a2－1)．

又f(x)在(－1，1)上是减函数，

所以1－a＞a2－1，解得－2＜a＜1.②

由①②可得0＜a＜1，

所以a的取值范围是(0，1)．

专题三

简单的线性规划问题

线性规划问题在实际中的类型主要有：

(1)给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.

[例3]

某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A，1 t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：

原料

每种产品所需原料/t A B 现有原料数/t

甲

乙

利润/(万元/t)

2

1

5

1

3

3

14 18 ____ (1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？

(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？

解：(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x＋3y≤18，x，y满足作出可行域如图所示：

x≥0，y≥0，2x＋y≤14.

24221当直线5x＋3y＝z过点B5，5时，z取最大值37，即生产A52422产品

t，B产品

t时，可得最大利润．

55(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直5线斜率k＝－，

m1又kAB＝－2，kCB＝－，要使最优解仍为B点，

3515则－2≤－≤－，解得≤m≤15. m32归纳升华

解答线性规划应用题的步骤

(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．

(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．

(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．

(4)求：通过解方程组求出最优解．

(5)答：作出答案．

[变式训练]

已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(

) 911A．3

B．4

C.

D.

22解析：法一：依题意得，x＋1>1，2y＋1>1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2（x＋1）（2y＋1）＝29＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.

法二：由题意得，

8－2y－（2y＋1）＋99x＝＝＝－1＋，

2y＋12y＋12y＋199所以x＋2y＝－1＋＋2y＝－1＋＋2y＋1－1，≥2y＋12y＋129·（2y＋1）－2＝4，

2y＋1当且仅当2y＋1＝3，即y＝1时，等号成立．

答案：B

专题四

成立问题(恒成立、恰成立等) [例4]

已知函数f(x)＝mx2－mx－6＋m，若对于m∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．

解：因为mx2－mx－6＋m<0，

所以m(x2－x＋1)－6<0，

对于m∈[1，3]，f(x)<0恒成立⇔

21×（x－x＋1）－6<0，

23×（x－x＋1）－6<0，即为1－21－211＋21

1－51＋5计算得出：

221－51＋5所以实数x的取值范围：

不等式恒成立求参数范围问题常见解法

(1)变更主元法：

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值范围的变量看作主元．

(2)分离参数法：

若f(a)

若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.

(3)数形结合法：

利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．

2x2－ax＋10[变式训练]

已知函数y＝2的最小值为1，求实数ax＋4x＋6的取值集合．

2x2－ax＋10解：由y≥1即2≥1⇒x2－(a＋4)x＋4≥0恒成立，

x＋4x＋6所以Δ＝(a＋4)2－16≤0，解得－8≤a≤0(必要条件)．

2x2－ax＋10再由y＝1有解，即2＝1有解，

x＋4x＋6即x2－(a＋4)x＋4＝0有解，所以Δ＝(a＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.

综上即知a＝－8或a＝0时，ymin＝1，

故所求实数a的取值集合是{－8，0}．

专题五

利用分类讨论思想解不等式

x－a[例5]

解关于x的不等式<0(a∈R)．

x－a2分析：首先将不等式转化为整式不等式(x－a)(x－a2)<0，而方程(x－a)(x－a2)＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，故应就两根a和a2的大小进行分类讨论．

解：原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.

(1)若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2<0，解集为∅；

(2)若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)2<0，解集为∅；

(3)若0

(4)若a<0或a>1，则a2>a，故解集为{x|a

归纳升华

分类讨论思想

解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：

(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．

(2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．

(3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引

起的讨论．

[变式训练]

已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试判断f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．

解：因为f(x)为R上的减函数，

且α>－β，β>－γ，γ>－α，

所以f(α)<(－β)，f(β)

f(γ)

又f(x)为奇函数，

所以f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，

f(－γ)＝－f(γ)，

所以f(α)＋f(β)＋f(γ)

－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，

所以f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.