1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学设计

——福州二中

陈栋

一、教材背景分析

1．教材的地位和作用

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. “杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感. 本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.

研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位. 2．学情分析

知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质. 3．教学重点与难点

重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质. 难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；

利用赋值法证明二项式系数的性质. 二、教学目标

1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感. 2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.

3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题。

三、教法选择和学法指导

教法：问题引导、合作探究．

学法：结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识。

四、教学过程

1. 复习引入

kkk11、组合数的两个性质：Cn__________,CnCn_______

2、二项式定理：(a+b)n=__________________________________ 3、二项展开式的通项：Tr1_______________________ 4、二项展开式中的二项式系数指的是什么？共有多少个？__________________ _______ 【设计意图】：通过对二项式定理、组合数性质、二项式通项以及二项式系数复习，温故知新。

2.合作探究

完成

ab（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数，你能发现哪些规律？

nab1 ab2 _ _ ab3

_ _ ab4 _ _ ab5 ab6 K] 【设计意图】：通过由特殊到一般的方法，由学生填写表格，引出杨辉三角，介绍杨辉三角相关链接。然后由学生自主探究，寻找二项式系数与杨辉三角的关系，让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行、行与行中的规律，由学生发现规律，教师组织总结提升。

由对比二项式系数表得出：

（1）同行间的规律

A:对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．．

B:增减性与最大值：二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n的偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．

【问题提出】怎样证明(ab)n展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？

12【问题探究】探究：（1）(ab)n展开式的二项式系数C0n,Cn,Cn,n，Cr,Cnn可以看成是以r为自变量的函数f(r)Crn吗？它的定义域是什么？（2）画出性与最大值. 和7时函数[来源学_科_网]

的图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减

增减性与最大值：当n的偶数时，中间的一项C取得最大值；为第当n是奇数时，中间的两项C项。

【设计意图】：教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质，学生画图并观察分析图象性质；运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质，升华认识；通过函数的数学方法，得出对称性与增减性再认识，得出具体的最值点。

（2）行与行之间的规律

在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.（“双肩”和）

rr1rCCCnn

利用特殊到一般的方法得出其理论依据：n1n12nn2nn1项；

2n1n11,122，Cn22n相等，且同时取得最大值，为第根据规律请学生写出第7行二项式系数。

【设计意图】：从不同方向观察规律，得出猜想，进行证明，并利用结论进行应用，提

升。

（3）整体方向规律。（同行的二项式系数和）

问题：(ab)n展开式的各二项式系数的和是多少？

探究：（1）计算(ab)n展开式的二项式系数的和（n=1，2，3，4，5，6）. （2）猜想(ab)n展开式的二项式系数的和. （3）怎样证明你猜想的结论成立？

122赋值法：已知(1x)nC.0nCnxCnxrrCnxnnCnx，

12令x1，则2nC0nCnCnnCn．

这就是说，(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n．

【设计意图】：通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，强调赋值法适用于恒等式，解决整体求和问题。

3.知能检测

1、若（a+b）的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等,则n=__________ n2、已知

x+1的展开式中只有第10项二项式系数最大,求第五项。7n3、若12xa0a1xa2x2a7x7，

则a1a2a7_____________ a1a3a5a7______________ 4、证明在(a+b)展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

n1n1n22bC2b在展开式(ab)nC0naCnanana1,b1，

Cnnb中，令n123则得(11)nC0nCnCnCnn(1)nCn，

2即0(C0nCn32)(C1)，所以C0nCnnCn3C1nCn，

在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 【设计意图】：简化习题，突出重点，促进学生进一步掌握二项式系数的性质，学会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．通过对学生错解的展示，强化易错点的讲解。

4.课时小结

1、数学方法：归纳与演绎推理；赋值法

2、数学思想：数形结合与函数思想

3、二项式系数的性质：对称性、增减性、二项式系数和。

5.课后作业。

1、阅读书本，进一步探索杨辉三角的奥秘。

2、校本练习一张。

给出斐波那契数列，斜线和等例子，让学生课后继续探究。

【设计意图】：通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力。