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必修5:第三章

(复习课）：基本不等式

[高考考纲解读] 1．了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

梳理主干知识：

a＋b1．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：

. (2)等号成立的条件：当且仅当

时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥ 2ab

(a，b∈R)．

ba(2)＋≥ 2

(ab>0)．

ab(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)≥22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数

a＋b

，几何平均数为

ab

，基本不等式可叙2设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为

述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4．利用基本不等式求最值问题

x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y

时，x＋y有最

小

值是

2p

.(简记：积定和最小)

p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当

x＝y

时，xy有最

大

值是.(简记：和4定积最大)

【想一想】

下列结论正确的打“√”，错误的打“×”．

a＋b(1)当a≥0，b≥0时，≥ab.(

) 2(2)当x>0时，x＋1≥2.(

) xba(3)当ab<0时，＋≤－2.(

) ab(4)ab≤a＋b22成立的条件是ab>0.(

) π40，时，函数f(x)＝sinx＋(5)当x∈≥4.(

) 2sinx

1

1(6)当x≥2时，x＋的最小值是2.(

) x

答案：(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)×

【考点自测】

1.下列不等式一定成立的是(

) 1x2＋>lg x(x>0)

A．lg4C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

1B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z) sinx1D.2<1(x∈R) x＋1113πx2＋＝lg x，A不成立；当x＝时，sinx＝－1，B不成立；当x解析：当x＝时，lg422＝0时，D不成立．

答案：C 122．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA.2

C．22

B．2 D．4 2，∴ab≥22.当且仅当b＝2aab1212解析：由＋＝ab知a>0，b>0，∴ab＝＋≥2abab时取等号．

答案：C 3．已知直线a2x＋y－2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为(

) A．5

B．4 C．2

D．1 a2＋1a2＋1122a＋解析：由于两直线垂直，则ab－(a＋1)＝0，∴b＝2.∴|ab|＝aa＝a＝|a|1＋a≥2.当且仅当|a|＝1，b＝2时取等号，∴|ab|的最小值为2. 答案：C 114．(2017届怀化模拟)已知a>0，b>0，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小ab值是(

) A．3＋22

C．4

B．3－22 D．2 11112ab＋(2a＋b)＝2＋＋＋1≥3＋解析：由题意知2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝ababba

2

22ab2ab·＝3＋22.当且仅当＝，即b＝22时，等号成立．

baba

答案：A 5．已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．

log2a＋log22b2log22ab2log216242解析：log2a·log2(2b)≤2＝2＝2＝2＝4，当且仅当log2a＝log2(2b)，即a＝2b时取等号．∵a>0，b>0，ab＝8，∴a＝4，b＝2. 答案：4 【小结】

一点注意：使用重要不等式求最值必须要保证一正二定三相等．

一个思想：若和为定值，则积有最大值；若积为定积，则和有最小值，因此，在证明或求最值时，常将和式与积式相互转化．

a2＋b2a＋b两个变形：(1)公式的逆用：a＋b≥2ab的逆用就是ab≤；≥ab(a，b>0)2222a＋b2a＋b2a＋b的逆用就是ab≤.(2)ab≤这个不等式链用22≤2(当且仅当a＝b时取等号)，处很大．

【典例探究】

【考点】：利用基本不等式求最值

(1)已知a>0，b>0，x＝1为f(x)＝6x2－ax－b的零点，则ab的最大值为(

) A．3

C．9

B．23 D．36 22a2＋b2(2)已知b>a>0，ab＝2，则的取值范围是(

) a－bA．(－∞，－4]

C．(－∞，－2]

2(3)函数y＝2x＋(x<0)的最大值为________；

xx2－y2(4)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小xy值为________．

【思路探索】

(1)由x＝1为f(x)的零点，得a＋b＝6，可用基本不等式求解；(2)利用a2＋b2ab＝2，a＋b＝(a－b)＋2ab对变形，再用基本不等式求解；(3)因为x<0，所以不能a－b222B．(－∞，－4) D．(－∞，－2) －2求解；(4)先根据运算的定义转化为代直接应用基本不等式，可变形为y＝－－2x＋x数式，再变形应用基本不等式求解．

3

【解析】

(1)由题意得a＋b＝6，又a>0，b>0，a＋b≥2ab，∴ab≤且仅当a＝b＝3时等号成立．

4a2＋b2a－b2＋2ab4(2)∵b>a>0，ab＝2，∴＝＝(a－b)＋＝－b－a＋b－a.∵b－a－ba－ba－b2a＝3－1，b－a＝4，4a>0，∴(b－a)＋≥4，当且仅当即时取等号，

b－aab＝2，b＝3＋1a＋b22＝9，当

a2＋b2∴≤－4. a－b(3)∵x<0，∴－x>0，

2∴(－2x)＋≥2－x2－2x·＝4. －x22∴2x＋≤－4，当且仅当－2x＝－，

xx即x＝－1时等号成立．

2∴y＝2x＋(x<0)的最大值为－4. xx2－y24y2－x2x2＋2y2xy(4)根据定义得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝＋≥2xy2xy2xy2yx2，

xy当且仅当＝，即x＝2y时取等号．

2yx【答案】

(1)C

(2)A

(3)－4

(4)2 【点拨】

在使用基本不等式求最值时一定要注意：①各项或各因式为正，②和或积为定值，③各项或各因式能取到使等号成立的值，简记为“一正二定三相等”，如果不满足上述条件，可以进行必要、合理地拆分或配凑因式，使之满足上述三个条件，也可考虑利用函数的单调性求解．

a2＋b2【互动探究】若本例(2)中改为a>b>0，ab＝2，则的取值范围是________．

a－b2a－b＝4，a2＋b2a－b2＋2ab4解析：∵a>b>0，ab＝2，∴＝＝(a－b)＋≥4，当且仅当即a－ba－ba－bab＝2xy·＝2×2yx1＝2

a＝3＋1，时等号成立．

b＝3－1

答案：[4，＋∞)

4

z【变式探究】(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则的最小值为________；

xy(2)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx12＋n的图象上，其中m，n>0，则＋的最小值为________；

mn1(3)已知函数f(x)＝x(1－2x)，0

2x2－3xy＋4y2zx4y解析：(1)＝＝＋－3≥2 xyxyyxx4y当且仅当＝，即x＝2y时等号成立. 1yx(2)由题意知A(2,1)，则1＝2m＋n. 122m＋n22m＋nn4m∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋24＝8. mnmnmnn4m11当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．

mn4212则＋的最小值为8. mn1(3)解法一：∵0

2∴f(x)＝x·(1－2x)＝2x1－2x2≤122x＋1－2x·22x4y·－3＝yx＝18当且仅当2x＝1－2x，即x＝1时等号成立. 41111x－2＋≤.∴f(x)的最大值为. 解法二：f(x)＝x(1－2x)＝x－2x2＝－248881答案：(1)1

(2)8

(3)

8【考点】利用基本不等式证明不等式

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

1(1)ab＋bc＋ca≤；

3a2b2c2(2)＋＋≥1. bcaa2b2【思路探索】

(1)利用基本不等式及(a＋b＋c)＝1可证；(2)由＋b≥2a，＋c≥2b，bc2

c2＋a≥2c相加可证．

a

5

【证明】

(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 又a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，

∴3(ab＋bc＋ca)≤1，

1∴ab＋bc＋ca≤. 3

a2b2c2(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

bcaa2b2c2∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

bcaa2b2c2即＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2又a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1. bca【名师点拨】

1.不等式的证明遵循从繁到简，应注意观察不等式的结构形式，联想到a2＋b2基本不等式．比如第(1)问中有“≤”，联想到应该利用“ab≤”这个不等式，而第(2)2问中有“≥”，联想到应该利用“a＋b≥2ab”这个不等式．

2．在利用基本不等式证明不等式时，一定要注意不等式成立的条件，尤其是等号成立的条件，当多个不等式相加时，若等号成立的条件不全一样，那最后结果中就没有等号．

【变式】(1)求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)；

111(2)已知a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝1，求证：a－1b－1c－1≥8. a＋bb＋c证明：(1)∵a2＋b2≥，b2＋c2≥，

22c＋ac2＋a2≥，

2∴以上三个不等式累加得

a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．

(2)∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，

1－ab＋cbc2cb1∴－1＝＝＝＋≥，

aaaaaa

6

12ac12ab同理－1≥，－1≥，

bbcc以上三个不等式两边分别相乘得

1－11－11－1≥8. abc【考点】基本不等式的实际应用

某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10 000平方米，每座球场的建筑面积均为1 000平方米，球场总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，n－5当该球场建n座时，每平方米的平均建筑费用用f(n)表示，且f(n)＝m1＋(其中n∈N)，20又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几座球场？

【思路探索】

由n＝5时，f(n)＝400，则可求得m的值，假设建n座球场，可用n表128×1041 280示出每平方米的购地费用g(n)＝＝，从而可得每平方米的费用y＝f(n)＋g(n)，1 000nn再用基本不等式求取最小值时n的值．

128×104【解】

设建n座球场时，每平方米的综合费用最省，则每平方米的购地费用为1 000n1 280＝. n由题意，知n＝5，f(n)＝400，

5－5则f(5)＝m1＋＝400，所以m＝400. 20n－5所以f(n)＝4001＋＝20n＋300. 20从而每平方米的综合费用为

641 280n＋＋300≥20×264＋300＝620元，

y＝f(n)＋＝20nn当且仅当n＝8时等号成立．

所以当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．

【点拨】

(1)应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④还原成实际问题，作出解答．

(2)利用基本不等式解决实际问题时，关键是把实际问题转化为数学问题，做到这个转化需理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，列出函数关系式再求解．特别强调一点的是，当利用基本不等式时，若等号成立的条件不具备，则利用函数的单调性求解．

【变式】某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

7

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x解：(1)由题意可得，y＝，

x100即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．

x(2)由基本不等式得，y＝x＋100＋1.5≥2x100x·＋1.5＝21.5，

x100当且仅当x＝，即x＝10时等号成立，

x故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

【疑难技巧讲堂】

数学思想方法——构造法

从近几年的高考试题的统计和分析发现，利用基本不等式求函数的最值是高考考查的重点内容之一，其中对代数式进行拆、添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式是同学们学习的难点. 14【典例】(1)若不等式＋≥a对任意的x∈(0,1)恒成立，则a的最大值是______________；

x1－x(2)已知关于x的不等式2x＋(

) A．1

C．2

3B.

25D.

22≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为x－ax＋1－x4x＋1－x1－x4x14【解析】

(1)∵x∈(0,1)，∴1－x>0，∴＋＝＋＝5＋＋x1－xxx1－x1－x≥5＋2 1－x4x1－x4x114×＝5＋4＝9，当且仅当＝，即x＝时，取等号，所以＋xx3x1－x1－x1－x的最小值为9，所以a≤9，所以a的最大值为9. (2)∵2x＋22＝2(x－a)＋＋2a≥2 x－ax－a22x－a·＋2a＝2a＋x－a134当且仅当x－a＝x－a，即x＝a＋1时等号成立，由题意得2a＋4≥7，∴a≥，故选B. 2

【答案】

(1)9

(2)B 21m【变式】已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于________．

ab2a＋b解析：由于a>0，b>0，所以不等式可化为m≤(2a＋b)·

2＋1，而(2a＋b)2＋1＝4＋2a＋2b＋1≥5＋2 ababba

8 2a2b2a2b·＝9，当且仅当＝，即ababa

21＝b时(2a＋b)a＋b取最小值9，所以不等式恒成立时m的最大值等于9.

9