1.3 二项式定理（通用）教学设计(第一课时)

《二项式定理》教学设计

课题

时2018.6 间

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项【课型】：

新

授

【课时】：

1课时

人教A版选修2-3

1.3.1二

项

式

定

理

式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上

启下的作用。学习本小节的意义主要在于：

（1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一——二项分布有内在联系，本小意节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识；

义

（2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；

（3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；

（4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法。

学（1）本节课前，学生已经学会了（a+b）2 的展开式，但不知道（a+b）n

（n3,n为整情数）的展开式；

分析

知识与掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解（2）该班学生在学习上具有坚毅、勤奋、刻苦的优良品德，自主学习数学的热情很高。

技能

某些指定的项。

教学目情感态激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和标

度价值理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识。

观

过程与方法

通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力。

1

教教学

学重点

重

二项定理的推导及运用

点教学

难难点

点

（1）二项式定理及通项公式的运用

（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别

教

学

过

程

设

计

教教学手学段与方内法

容

【探究1】：

【回答】

学生通过计算

教师教授活动

学生学习活动

设

计

宗

旨

3（ab（)ab)2（ab)2（ab（)ab)a22abb2（ab)（ab)（ab（)ab)？

（ab)（ab（)ab)？



4332a3ab3abb3223(ab)2

3

(ab)4（ab)4（ab（)ab)3a44a3b6a2b24a3bb

【思考】

（ab)100？

（ab)n？

教师提问，学生回答

(ab)4

得到初步规律。

新

启

（ab)100？

发

提



（ab)n？【只是回顾】多项式乘法的再认识

课

问

学

习

为后面的证明问题1:(a1a2)(b1b2)的展开式有几项？

每一项是怎样构成的？

问题2:(a1a2)(b1b2)(c1c2)的展开式有几项？每一项是怎样构成的？

教师引导，学生思考回答：

【探究2】：

考虑b：

2

做准备

新

讲

0都不取b的情况有C3种,（ab)（ab（)ab（)ab)的展开式有多少项？

你能准确的写出这些项吗？

30即a3的系数是C3；1取1个b的情况有C3种,1即a2b的系数是C3；

2取2个b的情况有C3种,2即ab2的系数是C3；3取3个b的情况有C3种,3即b3的系数是C3；

【探究3】

04种；

（ab)4（ab（)ab（)ab（)ab)

的展开式有多少项？

你能准确的写出这些项吗？

在4个括号中

（1）若每个括号都不取b: 只有一种方法得到a,即C（2）若只有1个括号取b: 1共有C4种方法取到

ab；

34课

授

学

习

探

究

理解每个括号的相同点；引导学为证明生发现：原始展开式中确实有同二项式类型存在，且可合并。

因此：

0413(ab)4C4aC4ab定理做铺垫

（3）若只有2个括号取b: 2共有C4种方法取到ab；

22CabCabCb2422343444（4）若只有3个括号取b: 共有C4种方法取到

ab；

（5）若只有4个括号取b: 共有C4种方法取到 a0b4。

【探究4】：

(ab)的展开式合并后，展开式中

n433

根据(ab)展开式归纳

4这是后面证明的关键

ankbk的系数是多少？有何理由？

3

讲

那么该如何轻松清晰的将(ab)

展开？请同学们归纳猜想。

合

【证明思路】：主要运用数学计数原理

作

（1）展开式中共有几项？

探

（2）展开式中的各项的次数和是多少？

究

字母a的次数规律？字母b的次数规律？

（3）展开式中每一项的系数是多少？

（4）展开式中的通项是多少？

n 学生很轻松的根据前面的过程写出其展开式

教师引导，学生合作探究回答

【板书】：一般的对于任意正整数n 下面的归纳展开式的特点：

关系式成立：

0n1n1(ab)nCnaCnabknkknnCnabCnb(nN*)

①项数：展开式共有n＋1项；

(1)板书②次数：各项的次数和均为n ；

的示范字母a的次数按降幂排作用；

列，由n递减到0 ；

(2)归纳说明：

（1）公式的左边叫二项式，右边叫二项展授

开式；

字母b的次数按升幂排出系数列，由0递增到n 。

的特点才能记住二项式定理。

（2）二项式中的a，b只是一种符号，可③二项式系数: 以是任意的数或者式子，只要是两项和的n次幂的形式都可以用二项式定理展开。

kCn(k0,1,2,,n)

④二项展开式的通项: knkkTk1Cnab

【学以致用】：

8100

天后是星期几吗？

学生回答：

8100=(1+7)100

展开进行计算

4

【例题】

例

题

讲

练

14例1.(1)求(1)的展开式；x

16(2)求(2x)的展开式.x

（教师完整板书）

111213141解:(1)11C4C4C4C4xxxxx4234

（学生做题解法一）

1610615(2x)C(2x)C(2x)()老师讲（1）

二项式

66xx学生练（2）

定理直启

接应用

123134142432)C6(2x)()C6(2x)()

C6(2x)(xxx

发

151656)C6()

C6(2x)(xx

讲

（学生做题解法二）

162x161（2x)()(2x1)6

3xxx

授

46411234xxxx10133[C6(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C6(2x)3x

456C6(2x)2C6(2x)C6]

【思考问题】

在例1.(2)求(2x16)的展开式中x

①展开式中的第3项的系数为多少？

分清本题各项的系数和

5

②展开式中的第3项的二项式系数为多少？

③你能直接求展开式的第3项吗？

④你能直接求展开式中

【巩固练习】：

1.求(12x)7的展开式中第4项的系数；

3启

2.求(x-1)9的展开式中x的系数.x

发

（学生书写）

二项式的系数和的区别

x2的系数吗？

学生当

堂练习

定理通项的应用

1.本节主要学习了《二项式定理》的展开式的特点和证明

方法。

1n1(ab)nCn0anCnabCnkankbkCnnbn(nN*)

小

结

(1)

二项式系数：

(2)

kCn(k0,1,2,,n)

knkkTCb

二项展开式的通项：k1na2.思想方法：

(1) 从特殊到一般的数学思维方式

(2) 类比、等价转换的思想.

让学学生小结

进一老师补充

明白项式理的容和用

生步二定内应

板

书

设

计

【板书设计】：

【例1】：

二项式定理：

一般的对于任意正整数n 下面的关系式 成立：

【思考问题】：

n0n1n1(ab)CnaCnabknkkn【巩固练习】：

CabCb(nN)特点：

nnn*

6