2.基本不等式优质教案设计

4-5 第二节 绝对值不等式

一.教学目标: 1．理解绝对值的几何意义

(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．

(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．

2．掌握绝对值三角不等式及其应用

(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．

3．了解三个实数的绝对值不等式

如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

4.绝对值不等式的解法

．1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解法

不等式

|x|＜a |x|＞a

2)．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．

3)．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解．

(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．

(3)构造函数，结合函数的图象求解．

a＞0

{x|－a＜x＜a}

{x|x＞a或x＜－a}

a＝0

∅

{x∈R|x≠0}

a＜0 ∅

R

1

二.教学过程

(一)[问题思考] 1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？

析：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|．

2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？

析：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．

3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？

析：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|．

4．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？

析：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；

|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．

5．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？

析：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．

(二).形成新知: 1.绝对值三角不等式及取等号的条件

2. 绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释

3.含绝对值不等式的几个模型及三种解法. (三).新知应用:

(1)以下四个命题：

①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

2

②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；

x2③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；

y3|A|＋|B|1④若AB≠0，则lg≥( lg|A|＋lg|B|)．

22其中正确的命题有(

) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

|a＋b|(2)不等式≥1成立的充要条件是________．

|a|－|b|[析] 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要条件等问题．

解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；

解答问题(2)应分|a|＞|b|与|a|<|b|两类讨论．

(1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| |a－b|＋2|a|∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；

1＞|a－b|≥|a|－|b|， ∴|a|＜|b|＋1，②正确；

|y|＞3，∴11|x|2＜. 又∵|x|＜2， ∴＜.③正确；

|y|03|y|3|A|＋|B|＝1(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)，

≥1(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，

424|A|＋|B|∴2lg≥lg|A||B|. 2|A|＋|B|1∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．

22(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0， ∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. ∴必有当|a＋b||a＋b|≥1. 即|a|>|b|是≥1成立的充分条件．

|a|－|b||a|－|b|2|a＋b|≥1时， 由|a＋b|>0，必有|a|－|b|>0. |a|－|b||a＋b|≥1成立的必要条件．故所求为：|a|>|b|. |a|－|b|即|a|>|b|，故|a|>|b|是答案：(1)A (2)|a|＞|b| 方法与规律:

(1)定理|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．

3

(2)对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：

定理的构

特征

成部分

关系

中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成左端

可能是负的

|a|－|b|

≤中间部分

≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立．

用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，中间部分

肯定是非负的

|a±b|

≤右端

≥左端

左端取等号；用“－”连接时，立；中间部分为|a－b|时，ab大小

等号成立的条件

ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号．

中间部分为|a＋b|时，ab≥右端

是非负的

|a|＋|b|

－b|时，ab≤0，等号成立. 变式训练: 1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式：

①|xlg|＜5|lg|； ②|x|lg＜5lg； ③xlg＜5|lg|；

n＋1n＋1n＋1n＋1n＋1n＋1＜5|lg|. n＋1n＋1≥中间部分

0，等号成立；中间部分为|annnnnnn④|x|lgn其中，能够成立的有________．

|a|－|b||a|＋|b|(2)已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是(

) |a－b||a＋b|A．m＞n

B．m＜n

C．m＝n

D．m≤n

解析：(1)∵0＜＜1.∴lg＜0. n＋1n＋1nn

4

由x＜5，并不能确定|x|与5的关系，

∴可以否定①②③，而|x|lgnn＋1＜0，④成立．

(2)∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，

|a|－|b||a－b|∴m＝≤＝1，

|a－b||a－b|n＝|a|＋|b||a|＋|b|≥＝1，∴m≤1≤n. |a＋b||a|＋|b|答案：(1)④

(2)D 例题2. 解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；

(2)|2x＋5|＞7＋x；

(3)11≤. x－2|x|2[精讲详析] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．

(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．

(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．

(1)法一：原不等式等价于不等式组

|x－2|＞1，

|x－2|≤3，x＜1或x＞3，即

－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，

所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

法二：原不等式可转化为：

①x－2≥0，x－2＜0，或②

1＜x－2≤3，1＜－（x－2）≤3，由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，

所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

5

2法三：原不等式的解集就是1＜(x－2)2≤9的解集，即（x－2）≤9，－1≤x≤5，（x－2）2＞1，解得

x＜1或x＞3，∴－1≤x＜1或3＜x≤5.

∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．

(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，

可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，

整理得x＞2或x＜－4. ∴原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．

(3)①当x2－2＜0且x≠0，

即当－2＜x＜2，

且x≠0时，原不等式显然成立．

②当x2－2＞0时，

原不等式与不等式组|x|＞2，x2－2≥|x|等价，

x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0，

∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2，

即x≤－2或x≥2.

∴原不等式的解集为

(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．

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绝对值不等式的常见类型及其解法：

(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式

此类不等式的简单解法是等价命题法，即

①当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；

②当a＝0时，|f(x)|＜a无解．

|f(x)|＞a⇔f(x)≠0；

6

③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．

|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．

(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式

此类问题的简单解法是利用平方法，即

|f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2

⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. (3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式

此类不等式的简单解法是等价命题法，即

①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，

②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．

(4)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式

此类问题的简单解法是利用等价命题法，即

a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b) ⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a. (5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式

此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即

|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0，

|f(x)|＜f(x)⇔f(x)∈∅.

1．(江苏高考)解不等式x＋|2x－1|＜3. 解：原不等式可化为2x－1≥0，x＋（2x－1）＜3，

或2x－1＜0，－（2x－1）＜3.解得1≤x＜4或－2＜x＜1x232. 所以原不等式的解集是4x|－2＜x＜3.

7

例3. 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.

[精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也可以转化为分段函数，借助函数图象求解．

法一：当x≤－1时，原不等式可以化为

－(x＋1)－(x－1)≥3，

解得：x≤－32. 当－1

x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．

当x≥1时，原不等式可以化为

x＋1＋x－1≥3.所以x≥32. 综上，可知原不等式的解集为

x|x≤－332或x≥2. 法二：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，

作出函数的图象，如图所示：

函数的零点是－332，2. 从图象可知，当x≤－32或x≥32时，y≥0，

即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.

所以原不等式的解集为3－∞，－2∪32，＋∞. 8

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(1)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．

(2)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段－2x＋a＋b－c，

（x≤a），表达式．不妨设a＜b，于是f(x)＝b－a－c， （a＜x＜b），

2x－a－b－c， （x≥b）.这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．

2．解不等式|2x＋1|－|x－4|＞2. 解：法一：令y＝|2x＋1|－|x－4|，则

y＝1

3x－3－＜x＜4，2x＋5（x≥4）.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，

1－x－5x≤－，2

5它们的交点为(－7，2)和，2. 35所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪，＋∞. 3法二：当x≥4时，(2x＋1)－(x－4)＞2，

解得x＞－3，∴x≥4.

9

1当－≤x＜4时，(2x＋1)＋(x－4)＞2，

255解得x＞，∴＜x＜4. 331当x＜－时，－(2x＋1)＋(x－4)＞2，

2解得x＜－7，∴x＜－7. 5. x|x＜－7或x＞综上可知，不等式的解集为3

例4. 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．

[精讲详析] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的取值范围．

若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．

－2x＋a＋1，x≤a，若a＜1，f(x)＝1－a，a＜x＜1，

2x－（a＋1），x≥1，f(x)的最小值为1－a. －2x＋a＋1，x≤1，若a＞1，f(x)＝a－1，1＜x＜a，

2x－（a＋1），x≥a，f(x)的最小值为a－1. 所以∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，

从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

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含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a并没有进行讨论，但去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．

3．设函数f(x)＝|2x－4|＋1.

10

(1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．

解：(1)由于f(x) －2x＋5，x<2，＝

2x－3，x≥2，则函数y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，

1当且仅当a≥或a<－2时，

2函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点．

故不等式f(x)≤ax的解集非空时，

a的取值范围为(－∞，－2)∪，＋∞.  [考题印证] (全国卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．

[命题立意] 本题主要考查含绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式求参数取值范围的12

11

方法．

[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6

得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，

即x－a2＋12－x3－a≥2. 又ax－2＋12－xmin＝12－a2，

所以12－a23－a≥2，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞)．

(四)巩固练习: 1．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为(

) A．8

B．2 C．－4 D．－8 解析：选C 原不等式化为－6＜ax＋2＜6，

即－8＜ax＜4. 又∵－1＜x＜2，

∴验证选项易知a＝－4适合．

2．不等式x2－x＞x2－x的解集是(

) A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0} D．{x|x＞2} 解析：选B 由x2－x＞x2－x，可知x2－x＜0，

∴x＜0或x>2. 3．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( A．(－∞，3]∪[5，＋∞) B．[－5，－3]

) 12

C．[3，5] D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)

解析：选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3. 4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是(

) A．|a|＜|b|＋|c|

B．|c|＜|a|＋|b| C．b＞|c|－|a| D．b＜||a|－|c|| 解析：选D ∵|a－c|＜b，令a＝1，c＝2，b＝3. 则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|＜|b|＋|c|成立．

|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|＜|a|＋|b|成立．

||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b＞||c|－|a||成立．

故b＜||a|－|c||不成立．

二、填空题

5．若ab＞0，则下面四个不等式：①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|中，正确的有________．

解析：∵ab＞0，∴a，b同号．

∴|a＋b|＝|a|＋|b|. ∴①④正确．

答案：①④

6．(江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．

解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案：5 7．下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x＞1)；

②|a－b|＜|a|＋|b|；③|＋|≥2(ab≠0)；

④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．

1解析：logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确．

lg xbaabab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；

13

∵ab≠0，与同号，

baabbaba∴＋＝＋≥2，③正确；

abab由|x－1|＋|x－2|的几何意义知

|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．

综上①③④正确．

答案：①③④

8．不等式|2x－1|－x＜1的解集是________．

解析：原不等式等价于|2x－1|＜x＋1⇔－x－1＜

3x＞0，2x－1＜x＋1⇔⇔0＜x＜2. x＜2答案：{x|0＜x＜2} 9．(陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.

答案：[－2，4] 10．(重庆高考)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|

解析：|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，故a≤8.

答案：(－∞，8] 三、解答题

11 (新课标全国卷)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．

(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，

14

x≥a，此不等式化为不等式组

x－a＋3x≤0x≤a，或即aa－x＋3x≤0，x≤4x≥a，x≤a，或a

x≤－.2因为a>0，所以不等式组的解集为x|x≤－. 2由题设可得－＝－1，故a＝2. 212．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4. (1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；

(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．

解：(1)由题意得f(x)≤1，即|x－3|－2≤1，

得|x－3|≤3.

因为|x－3|≤3⇔－3≤x－3≤3⇔0≤x≤6，

所以x的取值范围是[0，6]．

(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6，

因为∀x∈R，由绝对值三角不等式得

aaf(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，

于是有m＋1≤－2，得m≤－3，

即m的取值范围是(－∞，－3].

13.设m，ε＞0，|x－a|＜求证：|xy－ab|＜mε. 证明：|xy－ab|＝|xy－ay＋ay－ab|≤|xy－ay|＋|ay－ab|＝|y(x－a)|＋|a(y－b)|＝|y||x－εε，|y－b|＜，|a|≤m，|y|≤m，

22a|＋|a||y－b|＜m×＋m×＝mε. 22∴|xy－ab|＜mε. |a||b||a＋b|14．设a，b∈R，求证：＋≥. 1＋|a|1＋|b|1＋|a|＋|b|证明：法一：①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．

εε

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②若ab≠0且a＋b≠0，

∵|a＋b|≤|a|＋|b|，

∴|a|＋|b|11＋|a|＋|b|＝1＋1

|a|＋|b|≥11＝|a＋b|1＋|a＋(*) |a＋b|＋1b|又|a|1＋|a|＞|a||b||b|1＋|a|＋|b|，1＋|b|＞1＋|a＋b|，

∴|a|1＋|a|＋|b||a|＋|b|1＋|b|＞1＋|a|＋|b|. 又由(*)式可知|a||b||a＋b|1＋|a|＋1＋|b|＞1＋|a＋b|. 综上①②可知|a||b||a＋1＋|a|＋1＋|b|≥b|1＋|a＋b|. 法二：若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．

若ab≠0且a＋b≠0，

∵|a＋b|≤|a|＋|b|，

∴0＜1＋1|a|＋|b|≤1＋1|a＋b|，

即0＜1＋|a|＋|b|1＋|a＋b||a|＋|b|≤|a＋b|. 取倒数得|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≥|a＋b|1＋|a＋b|，

又由法一知，原不等式成立．

法三：∵|a|＋|b|≥|a＋b|，

∴|a|＋|b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|≥

|a＋b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|，

即(|a|＋|b|)(1＋|a＋b|)≥|a＋b|(1＋|a|＋|b|)．两边同除以(1＋|a＋b|)(1＋|a|＋|b|)得

|a|＋|b||a1＋|a|＋|b|≥＋b|1＋|a＋b|. 又由法一知，原不等式成立．

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法四：构造函数f(x)＝，

1＋x任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，有

xf(x1)－f(x2)＝x2x1－x2－＝＜0. 1＋x11＋x2（1＋x1）（1＋x2）x1∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

又|a|＋|b|≥|a＋b|，

∴f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)，

即|a|＋|b||a＋b|≥. 1＋|a|＋|b|1＋|a＋b|又由法一知，

所证不等式成立．

11．已知a、b、c为实数，函数f(x)＝ax＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.

(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.

证明：(1)当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x＝0时，

有|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.

(2)法一：当a＞0时，g(x)＝ax＋b在[－1，1]上是增函数．

∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．

∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2.

2g(－1)＝－a＋b

＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2. 由此得|g(x)|≤2.

当a＜0时，g(x)＝ax＋b在[－1，1]上是减函数．

∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．

∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2.

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g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(f(1)＋|c|)≥－2. 由此得|g(x)|≤2.

当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c. ∵－1≤x≤1，

∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.

综上所述，|g(x)|≤2.

（x22法二：由x＝＋1）－（x－1）4，得g(x)＝ax＋b

22＝a（x＋1）－（x－1）＋bx＋1442－x－12

＝ax＋122＋bx＋12＋c－

ax－122＋bx－12＋c

＝fx＋12－fx－12. 当－1≤x≤1时，有0≤x＋1x－12≤1，－1≤2≤0，

∴|fx＋12－fx－12|≤|fx＋12|＋|fx－12|≤2.

即|g(x)|≤2.

(五)教学反思与总结: 1.理解几何意义; 2.数形结合,分类讨论等数学思想的应用.

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