1.1 锐角三角函数公开课教学设计模版

1.1锐角三角函数（2）

教学目标 (一)教学知识点

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. (二)思维训练要求

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力. 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. (三)情感与价值观要求

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 教学难点

进一步体会三角函数的意义. 教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法) [生]我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可. [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一

半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)＝CD+a. CD＝2223a. 3 则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=atan30°，岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝CDCD，则CD= ADa1. 2

sin30°表示在直角三角

形中，30°角的对边与

斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝ [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝a1. 2a23a3. 2a2 tan30°=a13

33a3 [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=3a3, 2a2 cos60°=a1, 2a2 tan60°＝3a3. a [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=3cos60°=sin(90°- 260°)=sin30°=1. 2 [师生共析]我们一同来

求45°角的三角函数值.含

45°角的直角三角形是等腰

直角三角形.(如图)设其中一

条直角边为a，则另一条直角

边也为a，斜边2a.由此可求得

sin45°=a12, 22a2a12, 22a2 cos45°＝ tan45°=a1

a[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值

三角函数角

30°

sinα

coα

tanα

[来源:学科网]1

23

22

21

23

31 45°

2

23

260°

3

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值，有何特点呢? [生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢? [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.

[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、

45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：

(1)sin30°+cos45°；

(2)sin60°+cos60°-tan45°. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin60°表示(sin60°)，cos60°表示

(cos60°). 解：(1)sin30°+cos45°=222222221212, 222 (2)sin60°+cos60°-tan45°

=(3212)+()-1 22 =31 + -1 44 ＝0. [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°，

OB=OA＝OD=2.5 m，

∠AOD＝1×60°＝30°，

2 ∴OC=OD·cos30°

=2.5×3≈2.165(m). 2

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).

所以，最高位置与最低位置的高度约为

0.34 m. Ⅲ.随堂练习

多媒体演示

1.计算：

(1)sin60°-tan45°；

(2)cos60°+tan60°；

(3)2sin45°+sin60°-2cos45°. 2332-1=；

22 解：(1)原式＝ (2)原式=1123+=3

22(3)原式=2232×+×；

2222=1322

2 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为77=14(m)，

sin3012 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结

本节课总结如下：

(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝123，sin45°＝，sin60°＝；

222132，cos45°＝

，cos60°＝；

222 cos30°＝tan30°= 3，tan45°＝1，tan60°=3. 3

(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业

见课课通

Ⅵ.活动与探究

(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高? (精确到0.1 m，2≈1.41，3≈1.73)

[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE. [结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24× ∵DF＝BE，

∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m). 甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 备课参考资料

参考练习

1.计算：3=83m. 312. sin3031 答案：3-3

2.计算：(2+1)+2sin30°-8

-1 答案：-2

3.计算：(1+2)-｜1-sin30°｜1+(01-1). 2 答案：5

21

1tan60 4.计算：sin60°+ 答案：-1

2-305.计算；2-(2003+π)-cos60°-1. 12 答案：-

32

8